1. Современная наука о природе, законы механики

Существует еще один закон, который выполняется с хоро­шей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скоро­сти, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. Ds=vDt. Это правило строго справедливо толь­ко тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала Dt, а это, вообще говоря, происходит, только когда Dt доста­точно мало. В таких случаях обычно пишут ds=vdt, где под dt подразумевают интервал времени Dt при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал Dt достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение Ds = vDt будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подра­зумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds=vdt точное. В новых обозначениях вы­ражение (8.5) имеет вид

Величина ds/dt называется «производной s no t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный про­цесс нахождения производной называется, кроме того, диффе­ренцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t², или просто производную от

5t². Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте най­дем производную более сложной функции. Рассмотрим выра­жение s=At³+Bt+C, которое может описывать движение точ­ки. Буквы А, В, С, так же как и в обычном квадратном уравне­нии, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t+Dt, причем к s прибавится некоторая добавка Ds, и найдем, как выражается Ds через Dt. Поскольку

s+Ds=A(t+Dt)²+В (t+Dt)+С =At³

+Bt+С+ЗAt²Dt+ВDt+3At (Dt)²+A(Dt)³

а

s=At³+Bt+C,

то Ds=3At²Dt+BDt+3At(Dt)²+A(Dt)³.

Но нам нужна не сама величина Ds, а отношение Ds/Dt. После деления на Dt получим выражение

Ds/Dt= 3At

^s+В+3At(Dt)+A(Dt)³, которое после устремления Dt к нулю превратится в

Ds/Dt=3'At²+B.

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференциро­вания функций. На самом деле он несколько легче, чем это ка­жется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, по­добных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (Dt)² или (Dt)³ или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем Dt устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8,3.

Таблица 8.3 · некоторые производные

s, u, v, w — произвольные функции;

а, b, с, n — произвольные постоянные.

§ 4. Расстояние как интеграл

Обсудим теперь обратную проблему. Пусть вместо таблицы расстояний нам дана таблица скоростей в различные моменты времени, начиная с нуля. В табл. 8.4 представлена зависимость скорости падающего шара от времени. Аналогичную таблицу можно составить и для машины, если записывать показания спидометра через каждую минуту или полминуты. Но можно ли, зная скорость машины в любой момент времени, вычислить расстояние, которое ею было пройдено?

Таблица 8.4

· скорость падающего шара

Эта задача обратна той, которую мы только что рассмотрели. Как же решить ее, если скорость машины непостоянна, если она то ускоряется до 90 км/час, то замедляется, затем где-то останавливается у свето­фора и т.д.? Сделать это нетрудно. Нужно использовать ту же идею и выражать полное расстояние через бесконечно малые его части. Пусть в первую секунду скорость будет v₁ , тогда по формуле Ds= v₁Dtможно вычислить расстояние, пройденное за эту секунду. В следующую секунду скорость будет несколько другой, хотя, может быть, и близкой к первоначальной, а расстояние, пройденное машиной за вторую секунду, будет равно новой скорости, умноженной на интервал времени (1 сек). Этот процесс можно продолжить дальше, до самого конца пути. В ре­зультате мы получим много маленьких отрезков, которые в сум­ме дадут весь путь. Таким образом, путь является суммой ско­ростей, умноженных на отдельные интервалы времени, или s = SvDt,где греческая буква S (сигма) означает сумми­рование. Точнее, это будет сумма скоростей в некоторые мо­менты времени, скажем t_i, умноженные на Dt:

(8.6)