4a. Кинетика. Теплота. Звук

Для члена с а₂ мы получаем cos9wt и cos5wt, каждый из которых при усреднении превратится в нуль. Для члена с а₉ получится соз16wt и cos(-2wt). Но cos(-2wt) — это то же са­мое, что cos2wt, так что опять оба члена дадут при усреднении нуль. Ясно, что все слагаемые с косинусами, за исключением одного, дадут при усреднении нуль. Этим единственным сла­гаемым будет член с а₇. Для него же мы получим

¹/₂a₇(cos14wt+cos0). (50.7)

Косинус нуля равен единице, а среднее от него, разумеется, тоже равно единице. Итак, мы получили, что среднее от всех членов с косинусами уравнения (50.4) равно ¹/₂а₇.

Еще легче расправиться с синусами. Когда мы умножаем их на косинус типа cos nwt, то таким же методом можно показать, что все они при усреднении обращаются в нуль.

Мы видим, что способ, придуманный Фурье, действует как своеобразное сито. Когда мы умножаем на cos7wt и усредняем, то все члены, кроме а₇, отсеиваются и в результате остается

или

Пусть читатель сам докажет, что коэффициенты b₇, например, находятся с помощью умножения (50.2) на sin 7wt и усреднения обеих частей. Результат таков:

Но то, что верно для 7, очевидно, верно и для любого дру­гого целого числа. Теперь мы запишем результат нашего дока­зательства в следующей, более элегантной математической форме. Если m и n — целые отличные от нуля числа и если w=2p/T, то

В предыдущих главах для описания простого гармониче­ского движения было удобно пользоваться экспоненциальной функцией. Вместо coswt мы использовали Re ехр(iwt) —дей­ствительную часть экспоненциальной функции. В этой главе мы использовали синус и косинус, потому что с ними, пожа­луй, немного проще проводить доказательства. Однако наш окончательный результат, уравнение (50.13), можно записать в более компактной форме:

где а_n — комплексное число а_n-ib_n(с b₀=0). Если мы всюду будем пользоваться одним и тем же обозначением, то должны также написать

Итак, теперь мы умеем раскладывать периодическую волну на ее гармонические компоненты. Эта процедура называется разложением в ряд Фурье, а отдельные члены называются фурье-компонентами. Однако до сих пор мы не показали, что, определив все фурье-компоненты и затем сложив их, мы дейст­вительно придем назад к нашей функции f(t). Математики до­казали, что для широкого класса функций (в сущности, для всех функций, интересных физикам), которые можно проин­тегрировать, мы снова получаем f(t). Но есть одно небольшое исключение. Если функция

f(t) разрывна, т. е. если она неожи­данно прыгает от одного значения к другому, сумма Фурье такой функции даст в точке разрыва значение, лежащее посре­дине между верхним и нижним значениями. Таким образом, если у нас есть странная функция f(t)=0 для 0≤t₀и f(t)=1 для t₀≤t≤T, то ее сумма Фурье всюду даст нам правильную величину, за исключением точки t₀, где вместо единицы полу­чится ¹/₂. Во всяком случае, физически даже нельзя требовать, чтобы функция была всюду нулем вплоть до точки t₀, а в самой точке t₀

вдруг стала равной единице. Может быть, стоило бы спе­циально для физиков издать такой «указ», что любая разрывная функция (которая может быть только упрощением настоящей физической функции) в точке разрыва должна принимать сред­нее значение. Тогда любая такая функция, с любым конечным числом «ступенек», как и все другие интересные для физики функции, будет правильно описываться рядом Фурье.

В качестве упражнения предлагаем читателю найти ряд Фурье для функции, показанной на фиг. 50.3.

Фиг. 50.3. Ступенчатая фун­кция. f(t)=+1 для 0

f(t)=-1 для T/2

Поскольку эту функцию нельзя записать в точной алгебраической форме, то брать интеграл от 0 до Т обычным способом невозможно. Однако если разделить его на две части: по интервалу от 0 до T/2 [на котором функция f(t)=1] и по интервалу от T/2 до T [на ко­тором f(t) -1], то интеграл легко берется. В результате должно получиться

где w=2p/T. Таким образом, оказывается, что для нашей сту­пенчатой волны (со специально выбранной фазой) будут только нечетные гармоники, причем их амплитуды обратно пропор­циональны частотам.

Давайте проверим, что для некоторого значения t результат (50.19) действительно дает снова f(t). Возьмем f = T/4или wt=p/2. Тогда

Сумма этого ряда равна p/4, а, стало быть, f(T)=1 .