Аленка, Настя и математик

Настя вошла в класс. Был урок математики. Прошла, как дурочка, на свою камчатку. Идиот Петров в который раз эанимался извращениеми: корябал некую последовательность действий, называемую то ли алгоритмом,  то ли программой (при слове «Программа» Петров преврашался в хищного ежа, могущего мочить всех и вся; начитался, дурак, «Юного техника»), дошла до своей парты, шлепнула на неё портфель и задумалась ни о чем. Через некоторое время Валентина Владимировна начала урок.

–– Теорема Эйлера, –– начала она. –– Или там, на фиг, Ферма… В общем, детки, если а и m взаимно просты….

Она наклонилась, рассматривая новоприобретенный лак для ногтей. Валентина Владимировна очень любила свои ноги. Другие, впрочем, тоже.

–– И… это… они не пересекаются в бесконечности.

Класс внимал. Сказанное проняло всех по самое некуда.

Валентина Владимировна задумчиво осмотрела ногти на ногах. Результат ей слегка не понравился.

–– Фёдоров!

Васька Фёдоров был неглупым парнем. Когда вызывали его, он смекал, что с педагогиней что-то не так. Опять насилие, подумал он, вытирая пот со лба.

Однако то, что произошло, не вписалось ни в какие рамки.

–– Скажи мне, Фёдоров… Э-э-э… Так это правда?

Вася, ничтоже сумняшеся, взял мел и, скрипя им, написал на доске:

Теоре́ма Э́йлеравтеории чиселгласит:

Еслии

взаимно просты, то, где—функция Эйлера.

Важным следствием теоремы Эйлера для случая простого модуля являетсямалая теорема Ферма:

Еслине делится напростое число, то.

В свою очередь, теорема Эйлера является следствием общеалгебраическойтеоремы Лагранжа, применённой кприведённой системе вычетовпо модулю.

Содержание

Пусть — все различные натуральные числа, меньшиеи взаимно простые с ним.

Рассмотрим все возможные произведениядля всехотдо.

Посколькувзаимно просто сивзаимно просто с, то итакже взаимно просто с, то естьдля некоторого.

Отметим, что все остаткипри делении наразличны. Действительно, пусть это не так, тогда существуют такие, что

или

Так каквзаимно просто с, то последнее равенство равносильно тому, что

или.

Это противоречит тому, что числапопарно различны по модулю.

Перемножим все сравнения вида. Получим:

или

.

Так как числовзаимно просто с, то последнее сравнение равносильно тому, что

или

С помощью теории групп

                 –– О…еть! –– сказала Валентина Владимировна. –– А дальше? Ты что, меня реально паришь?

Вася проскрипел следующее: