Алиса в Стране Смекалки

— Для большей уверенности, что ты больше не забудешь его, попрошу тебя записать мое утверждение в записную книжку под заглавием «Утверждение 1».

Так Алиса и сделала. Вот что она записала:

«Утверждение 1. Всякий раз, когда зазеркальный логик убежден в чем-нибудь, он убежден, что не убежден в этом».

— Но это еще не все, — сказал Шалтай-Болтай. — Необходимо также иметь в виду, что если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в его истинности.

— Почему? — спросила Алиса.

— Это легко доказать! — ответил Шалтай-Болтай. — Возьмем любое истинное утверждение. По условию 3 зазеркальный логик заявляет, что убежден в его истинности. Поскольку он заявляет, что убежден в истинности истинного утверждения, то он (по условию 1) честен. Следовательно, он убежден, что убежден в истинности истинного утверждения.

— Понятно! — сказала Алиса.

— Запиши-ка себе все это в записную книжку и озаглавь «Утверждение 2», — предложил Шалтай-Болтай.

И Алиса записала:

«Утверждение 2. Если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в истинности этого утверждения».

— Теперь ты понимаешь, — спросил Шалтай-Болтай, — почему зазеркальный логик не может быть убежденным в истинности истинного утверждения?

— Не совсем, — призналась Алиса.

— Такое заключение нетрудно вывести из утверждения 1, утверждения 2 и условия 4, — сказал Шалтай-Болтай. — Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. По утверждению 1 он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения. Но он не может быть одновременно убежденным, что он убежден в истинности этого утверждения (так как по условию 4 он не может быть убежденным в чем-то и одновременно быть убежденным в противоположном). А так как он не убежден, что убежден в истинности утверждения, то оно не может быть истинным, потому что если бы оно было истинным, то по утверждению 2 зазеркальный логик был бы убежден, что убежден в его истинности. Но в действительности он не убежден, что убежден в истинности рассматриваемого утверждения. Следовательно, оно не может быть истинным. Итак, ты видишь, что зазеркальный логик никогда не бывает убежден в истинности любого истинного утверждения. Все утверждения, в истинности которых убежден зазеркальный логик, ложны.

Алисе пришлось изрядно поразмыслить над сказанным.

— Весьма сложное доказательство! — наконец сказала она.

— Ничего, со временем привыкнешь! — заверил ее Шалтай-Болтай.

Алиса поразмыслила еще немного.

— Мне хотелось бы спросить, — обратилась она к Шалтаю-Болтаю, — обязательно ли зазеркальный логик должен быть убежден в истинности всех ложных утверждений или просто он убежден в истинности только ложных утверждений?

— Хороший вопрос, дитя мое! — одобрил Шалтай-Болтай. — И ответ на него хороший: «Да». Возьмем любое ложное утверждение. По условию 5 зазеркальный логик либо убежден в истинности этого утверждения, либо убежден в истинности противоположного утверждения. Но в истинности противоположного утверждения он не может быть убежден, так как оно истинно. Следовательно, зазеркальный логик убежден в истинности ложного утверждения.

— Как необычно! — воскликнула Алиса. — Подумать только! Зазеркальный логик убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений!

— Совершенно верно! — сказал Шалтай-Болтай. — И это самое прекрасное в зазеркальной логике! Не могу не отметить еще одну весьма интересную ее особенность, — добавил он. — Всякий, кто убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений и честно выражает свои убеждения, повторяю, всякий, кто придерживается таких убеждений, удовлетворяет пяти основным условиям, характеризующим зазеркальных логиков.

— Почему? — спросила Алиса.