Апология математики (сборник статей)

В письме Эйлера дано доказательство того, что подтверждение его гипотезы о возможности разложения чётных чисел на два простых слагаемых немедленно приводит к подтверждению общей (а значит, и частной) гипотезы Гольдбаха. Доказательство дано Эйлером для варианта, при котором 1 считается простым числом. Если исключить 1 из корпуса простых чисел, надо предложенный Эйлером переход от n к n – 1 поменять на переход от n к n – 3.

И наконец, последний комментарий к этому обмену письмами. Эйлер обосновывает достаточность своей гипотезы для подтверждения общей гипотезы Гольдбаха. Однако даже частной гипотезы Гольдбаха оказывается достаточно для подтверждения гипотезы Эйлера о том, что каждое чётное число n разлагается на два простых слагаемых.

Достаточно разложить на три простых слагаемых число n + 2 и заметить, что ввиду его чётности невозможно, чтобы все три слагаемых были нечётны. Значит, какое-то из этих слагаемых непременно чётно и, следовательно, равно 2. Оставшиеся два простых слагаемых в сумме дают число n. Поэтому все три рассмотренные гипотезы – гипотеза Эйлера, частная и общая гипотезы Гольдбаха – оказываются эквивалентными. А следовательно, эквивалентны и соответствующие проблемы. В наши дни все они объединяются терминами гипотеза Гольдбаха и проблема Гольдбаха.

Ещё в начале ХХ в. считалось допустимым включать 1 в объём понятия 'простое число'. Вот, например, что написано в знаменитой «Энциклопедии элементарной математики» Вебера и Вельштайна [4]: «Это, конечно, только вопрос целесообразного соглашения; часто относят единицу к простым числам, как оно и кажется естественнее на первый взгляд. Мы предпочитаем, однако, отделять единицу от простых чисел, так как это даёт возможность короче выражать некоторые предложения». С тех пор понятие простого числа сделалось общепринятым и устойчивым, и оно не включает в свой объём 1. А потому гипотеза и проблема Гольдбаха всеми понимаются однозначно – в современном варианте, исключающем из числа допустимых слагаемых 1.

Пора, однако, переходить к современности. Но прежде – несколько замечаний, преимущественно терминологических.

Проблему Гольдбаха можно ставить отдельно для разложения чётных и нечётных чисел. Поскольку, как мы видели, чётное число n может быть разложено на три простых слагаемых тогда и только тогда, когда на два простых слагаемых может быть разложено число n – 2, то проблема Гольдбаха для чётных чисел равносильна проблеме Эйлера, состоящей в требовании доказать гипотезу Эйлера, а стало быть, и проблеме Гольдбаха в её полном объёме. Поэтому в попытках решить тернарную проблему часто ограничиваются разложением нечётных чисел. Такая ограниченная проблема Гольдбаха называется слабой и состоит в проверке слабой гипотезы Гольдбаха (Goldbach's weak conjecture)[104]: всякое нечётное число, начиная с 7, может быть разложено на три простых слагаемых. Нередко термин «слабая гипотеза Гольдбаха» понимают в усиленном варианте, требующем, чтобы все три слагаемых были нечётными, и тем самым исключающем разложения вида 2 + 2 + p, где p – простое число (нижний порог поднимается в этом случае с 7 до 9). Эта терминологическая путаница порождает свои проблемы: подчас без внимательного анализа доказательств непонятно, что, собственно, сделано (показательный пример будет приведён ниже, в последнем абзаце)[105].

А теперь – последняя проблема этой статьи. Она состоит в выяснении того, решена проблема Гольдбаха или нет. В авторитетном словаре [1, с. 677], вышедшем в 1988 г., находим утверждение, что проблема Гольдбаха решена. Приведём соответствующую фразу полностью: «Другим следствием метода (1935–1937)[106] было решение ряда аддитивных проблем с простыми числами и, в частности, решение проблемы Гольдбаха». Эта фраза содержится в статье «ВИНОГРАДОВ Иван Матвеевич». Итак, благодаря использованию некоего метода проблема Гольдбаха была решена. Осталось узнать, какой из возможных ответов был дан на вопрос, составляющий проблему Гольдбаха и сформулированный в цитате из того же словаря [1, с. 188]. Вот тут и возникают трудности: ответ получить не удаётся.

В первой декаде XXI в. автор этих строк опросил нескольких специалистов по теории чисел, решена ли проблема Гольдбаха. Они отвечали уклончиво. Но на прямой вопрос, верно ли, что каждое число, начиная с 6, может быть разложено на три простых слагаемых, единодушно отвечали, что это неизвестно.

Посмотрим, что сказано в статье «ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА» в том же словаре. Находим фрагмент:

В 1937 г. И. М. Виноградов доказал[107], что всякое достаточно большое нечётное число представляется суммой трёх простых чисел, т. е., по существу, решил Г. п. для нечётных чисел. Это одно из крупнейших достижений современной математики.