Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике

В 1890-е годы Кантор, выздоровевший и примирившийся с научным сообществом, возобновил свои математические исследования. Их результатом стала публикация двух статей — последних, которые он отправил в печать при жизни. Первая называлась "Uber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre («Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях») и была опубликована в 1892 году в первом ежегодном альманахе Немецкого математического общества.

Вторая статья стала одной из самых известных и была издана в двух частях: первая в 1895-м, а вторая в 1897 году. Обе вышли в журнале «Математические анналы» под заголовком Beitr"age zur Begr"undung der transfiniten Mengenlehre («К обоснованию учения о трансфинитных множествах»).

В диаметре Алеф имел два-три сантиметра, но было в нем все пространство Вселенной, причем ничуть не уменьшенное.

Из рассказа «Алеф» Хорхе Луиса Борхеса

Проанализируем содержание этих статей, но в обратном хронологическом порядке.

Историк Хосе Феррейрос совершенно справедливо утверждает, что теория трансфинитных множеств — это «научное завещание Кантора». Действительно, в этой работе ученый использует все основные понятия своей теории бесконечности, в частности кардинальных и ординальных чисел, и изучает их свойства и взаимоотношения.

Одним из нововведений стало обозначение бесконечных кардинальных чисел (мощностей) алефом, . Это первая буква еврейского алфавита. Первое бесконечное кардинальное число, соответствующее множеству натуральных чисел, как любое другое счетное множество, Кантор назвал X₀ (читается «алеф-нуль»);

(далее в тексте алеф заменяется на X)

X₁— второе бесконечное кардинальное число, X₂ — третье и так далее. Следовательно, множество всех ординальных чисел первого класса, то есть всех натуральных чисел, имеет мощность X₀ .  Добавив ординалы второго класса, мы получим мощность X₁, третьего класса — множество с мощностью X₂ и так далее (см. рисунок). После этого замечания вопрос о том, верна ли континуум-гипотеза, то есть верно ли предположение Кантора, что промежуточной мощности между мощностью натуральных и вещественных чисел не существует, видоизменяется: равна ли мощность вещественных чисел X₁

? (Обратим внимание, что меньшая бесконечная мощность — это X₀, а непосредственно за ней идет X₁ ; мы также знаем, что мощность вещественных чисел не равна X₀ потому что они несчетны; поэтому, если она не равна X₁, единственная альтернатива — что она больше этого значения.)

Каждый раз, добавляя целый следующий класс ординальных чисел, мы непосредственно переходим к следующему кардинальному числу.

СКОЛЬКО ВСЕГО АЛЕФОВ?

Последовательность алефов начинается с X₂ ,X₁ ,X₀,,... Но сколько их всего? Каждому натуральному числу соответствует один алеф и, следовательно, они счетные? На самом деле нижние индексы — ординальные числа. После бесконечного числа X_n, где n — все натуральные числа, идут  X₊₁, X₊₁, ..., X₊, X₊₊₁

,... и так далее. Значит, ответ на вопрос таков: бесконечных кардинальных чисел столько же, сколько ординальных (всех классов).

ТРАНСФИНИТНАЯ АРИФМЕТИКА

В своем «Обосновании» Кантор опирается на работу Дедекинда 1887 года, хотя и не ссылается на нее открыто. Как и Дедекинд, он считает, что натуральные числа — кардиналы конечных множеств, а их сумма получается посредством объединения. Однако Кантор распространил эту идею и на бесконечные кардинальные числа и открыл область, которую назвал трансфинитной арифметикой. С точки зрения теории множеств 1 + 1 = 2 означает, что если мы объединим два разных множества с мощностью каждого, равной 1, то получим множество с мощностью 2. Можно выразить это другим способом, сказав, что если к множеству с мощностью 1 мы прибавим еще один объект, то результатом будет множество с мощностью 2. Следуя логике этих рассуждений, если к натуральным числам (с мощностью X₀ ) прибавить число -1, мы получим множество -1, 0, 1, 2, 3, 4,..., эквивалентное множеству натуральных чисел и, следовательно, имеющее мощность X₀ (напомним, что два эквивалентных множества равномощны). Итак, прибавляя новый объект к множеству мощностью X₀ , мы получим другое множество с мощностью X₀ ; говоря языком трансфинитной арифметики, X₀ + 1 = X₀ (см. рисунок 3).