Беседы об информатике

А чему вы, собственно, смеетесь? Наш маленький рассказ — пример того, что называется умозаключением. Причем умозаключением, проведенным по всем правилам классической Аристотелевой логики. «Все мужчины храбры. Кай мужчина, значит, он храбр», — провозглашал Аристотель. Подобные рассуждения получили название силлогизмов. С них начинается любой учебник логики. «Все люди в шинелях — военные, рассуждал наш герой. — Я в шинели, значит, это не я». Так что же тут смешного?

Но он же должен был знать, что он это он! Вера в неизменность человеческого «я» — одно из самых стойких заблуждений человечества. В повести братьев Стругацких «Понедельник начинается в субботу» директор Научно-исследовательского института чародейства и волшебства (НИИЧАВО) Янус Полуектович Невструев — ученый мирового класса. Он открыл способ осуществлять контрамоцию, изменять направление времени. Поставив эксперимент над собой, Невструев начал жить в обратном направлении — из будущего в прошлое.

С тех пор у сотрудников НИИЧАВО стало как бы два директора, точнее, один, но в двух лицах. А-Янус Полуектович Невструев, посредственный администратор, но люди прозорливые видят, что постепенно он превращается в крупного ученого. У-Янус Полуектович Невструев, ученый с мировым именем, но прямо на глазах сотрудников в нем все более проступают черты посредственного администратора. Эта поучительная история — прекрасный пример тому, что «я» в данный момент совсем не то же самое «я», что полчаса тому назад.

Кто такой Кай

Мы отвлеклись в сторону. Какие там фантастические истории ни рассказывай, рассуждаем мы логически. В наши дни Аристотелева логика поставлена на прочный математический фундамент. В результате сформировалась наука — формальная логика, ее называют алгеброй логики. Основным в формальной логике является понятие высказывания. «Кай — мужчина», «снег — бел», «кошка — млекопитающее» — все это примеры высказываний. В Аристотелевой, а теперь и в формальной логике высказывание может быть только либо истинным, либо ложным. Третьего не дано. Это положение так и называется — закон исключенного третьего. Если высказывание «снег — бел» истинно, то высказывание «снег не бел» обязательно ложно.

С чего начинается формализация логики? С того, что, подобно иксам и игрекам в обычной алгебре, высказывания рассматриваются как переменные величины, способные принимать одно из двух значений: истинно или ложно.

Первый раздел формальной логики — исчисление высказываний. Здесь изучаются правила, по которым над высказываниями проводятся операции аналогично сложению и вычитанию в алгебре. Операция отрицания НЕ — единственная операция, которая выполняется над одним высказыванием. Все остальные операции формальной логики требуют по меньшей мере двух высказываний.

Одна из операций получила название ИЛИ (дизъюнкция). Операция ИЛИ позволяет связать между собой два или несколько высказываний, образуя сложное высказывание. Если есть высказывание А и высказывание Б, то по законам формальной логики может существовать также высказывание А ИЛИ Б. Высказывание А ИЛИ Б, в свою очередь, может быть либо истинным, либо ложным. Для того чтобы оно было истинным, достаточно, чтобы истинным было хотя бы одно из составляющих его высказываний. Например: осадки — это дождь идет или снег идет.

Вторая операция называется И (конъюнкция), Сложное высказывание А и Б истинно в том, и только в том случае, если истинны оба составляющих его высказывания. Например: ясная погода — это когда снег не идет и дождь не идет.

Кроме операций, в формальной логике изучаются отношения. Простейшее — отношение эквивалентности. Если высказывания А и Б связаны между собой отношением эквивалентности (А эквивалентно Б), то оба они должны быть либо одновременно истинными, либо одновременна ложными. Так, запись «А эквивалентно Б и В» справедлива, то есть отвечает законам формальной логики, если в качестве высказывания Б взято, к примеру, высказывание «Я съел суп», в качестве высказывания В — «Я съел второе», а в качестве высказывания А — «Я пообедал».

Операции НЕ, И и ИЛИ, вместе взятые, обладают замечательным свойством функциональной полноты. Любое сколь угодно сложное высказывание конструируется как последовательность более простых высказываний, связанных между собой операциями НЕ, И и ИЛИ.

Что получается? Все, что в обычном языке называется рассуждением или умозаключением, представляет собой логическую конструкцию. Наука логика учит строить подобные конструкции и в процессе строительства исключать из них явные и скрытые противоречия. Логика позволяет также устанавливать истинность или ложность сложных высказываний, когда известна истинность или ложность составляющих их простых высказываний. На страницах этой книги мы не раз обратимся к логике. Пока отметим важную деталь. Высказывание, построенное по законам логики отличается несомненной стройностью, больше того — красотой.

Мужик и медведь