Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Поскольку окружности тесно связаны с циклами, синусоиды появляются везде, где есть циклические явления, – от смены времен года до колебаний камертона и частоты переменного тока в 50 Гц (герц), используемого в лампах и электрических сетях. Раздражающее гудение различных бытовых приборов, как правило, представляет собой звук с частотой 50 Гц (1 Гц = 1 колебание в секунду). Это надежный признак переменного тока, вырабатываемого электрогенераторами, крутящимися с такой частотой. Там, где есть круговое движение, есть и синусоиды.

Любая синусоида полностью определяется четырьмя основными характеристиками: периодом, средним значением, амплитудой и фазой.

Эти четыре параметра истолковываются просто. Период T указывает, сколько времени требуется волне для прохождения одного полного цикла. Для рассматриваемых данных по продолжительности светового дня T составляет 365,25 дня (именно эта лишняя четверть дня – причина, по которой раз в четыре года нужен високосный год, чтобы поддерживать синхронизацию календаря с природными циклами). Среднее значение синусоиды b – это ее сдвиг по вертикали. Для нашего примера это типичное количество минут в световом дне в Нью-Йорке, усредненное по всем дням 2018 года. Амплитуда a

волны говорит нам, сколько дополнительных минут света приходится на самый длинный день года по сравнению со средним днем. Наконец, фаза волны c сообщает день, когда волна на пути вверх пересекает свое среднее значение: это происходит около дня весеннего равноденствия.

Эти четыре параметра – a, b, c, T – можно представлять как четыре рукоятки, которые позволяют регулировать форму и положение синусоиды. Они действуют так: b-рукоятка перемещает синусоиду вверх и вниз; c

-рукоятка двигает ее влево и вправо; T-рукоятка контролирует, как быстро волна колеблется, сжимая и растягивая ее по горизонтальной оси; и, наконец, a-рукоятка определяет, насколько сильный размах у колебаний.

Если бы мы могли каким-то образом настроить эти рукоятки так, чтобы синусоида проходила через все нарисованные нами ранее точки, то это позволило бы существенно сжать информацию и означало бы, что вместо 27 значений мы бы обошлись всего четырьмя параметрами такой подобранной синусоиды, то есть сжали бы данные в 27/4 = 6,75 раза. В реальности же, поскольку у нас один из параметров – год, по сути, мы можем играть всего с тремя параметрами, что дает нам сжатие в 27/3 = 9 раз. Такое уменьшение возможно, потому что наши данные не случайны. Они подчинены некоторой закономерности, а синусоида воплощает ее и делает за нас всю работу.

Единственная загвоздка – отсутствие синусоиды, которая бы идеально проходила через все точки. Этого следует ожидать при подгонке к реальным данным идеализированной модели: определенные расхождения неизбежны, но всегда есть надежда, что они окажутся незначительными. Для их минимизации требуется найти синусоиду, которая максимально близко подходит к нашим точкам. Вот тут-то в игру и вступает анализ.

На рисунке ниже показана наилучшая синусоида, определяемая алгоритмом оптимизации, который я объясню чуть ниже.

Но сначала обратите внимание, что результирующая кривая подходит не идеально. Например, она недостаточно низка в декабре, когда дни очень короткие и данные попадают ниже кривой. Тем не менее простая синусоида, безусловно, отражает суть происходящего. В зависимости от наших целей такое качество приближения может оказаться достаточным.

Но при чем тут анализ? Он помогает оптимально выбрать четыре параметра. Представьте, что вы поворачиваете эти четыре рукоятки, добиваясь наилучшей настройки, – нечто вроде поворота ручек на радиоприемнике для получения самого сильного сигнала. Фактически это то, что делал Ферма в задаче с багажной полкой, когда искал параметры самой вместительной коробки. Он менял единственный параметр x, длину боковой стороны коробки, и искал сигнал о максимальном объеме коробки. В нашем же случае требуется настроить четыре параметра. Однако основная идея та же. Мы должны добиться сигнала оптимальности, меняя четыре параметра.