Большая Советская Энциклопедия (УП)

  Физические законы упругости материалов, надёжно проверенные экспериментально и имеющие место для большинства материалов, по крайней мере при малых (а иногда и очень больших) деформациях, отражают взаимно однозначные зависимости между текущими (мгновенными) значениями напряжений s и деформаций e, в отличие от законов пластичности, в которых напряжения зависят от процесса изменения деформаций (при одних и тех же деформациях, достигнутых путём различных процессов, напряжения различны). При растяжении цилиндрического образца длины l, радиуса r, с площадью поперечного сечения F имеет место пропорциональность между растягивающей силой Р, продольным удлинением образца Dl и поперечным удлинением Dr , которая выражается равенствами: , , где s₁ = P/F – нормальное напряжение в поперечном сечении,  – относительное удлинение образца,  – относительное изменение поперечного размера; Е – модуль Юнга (модуль продольной упругости), n – Пуассона коэффициент . При кручении тонкостенного трубчатого образца касательное напряжение t в поперечном сечении вычисляется по значениям площади сечения, его радиуса и приложенного крутящего момента. Деформация сдвига g, определяемая по наклону образующих, связана с t равенством t = G g, где G – модуль сдвига.

  При испытаниях образцов, вырезанных из изотропного материала по разным направлениям, получаются одни и те же значения Е, G и n. В среднем изотропны многие конструкционные металлы и сплавы, резина, пластмассы, стекло, керамика, бетон. Для анизотропного материала (древесина, кристаллы, армированные бетон и пластики, слоистые горные породы и др.) упругие свойства зависят от направления. Напряжение в любой точке тела характеризуется шестью величинами – компонентами напряжений: нормальными напряжениями s_хх , s_уу

, s_zz и касательными напряжениями s_ху , s_уz , s_zx , Причём s_ху = s_ух и т.д. Деформация в любой точке тела также характеризуется шестью величинами – компонентами деформаций: относительными удлинениями e_хх , e_уу , e_zz и сдвигами e_ху , e_уz ,

e_zx , Причём e_ху = e_ух и т.д.

  Основным физическим законом У. т. является обобщённый Гука закон , согласно которому нормальные напряжения линейно зависят от деформаций. Для изотропных материалов эти зависимости имеют вид:

  , , ,

, , , (1)

  где  - средняя (гидростатическая) деформация, l и m = G – Ламе постоянные . Т. о., упругие свойства изотропного материала характеризуются двумя постоянными l и m или какими-нибудь выраженными через них двумя модулями упругости .

  Равенство (1) можно также представить в виде

  ,..., (2)

, …,

  где  – среднее (гидростатическое) напряжение, К – модуль всестороннего сжатия.

  Для анизотропного материала 6 зависимостей между компонентами напряжений и деформаций имеют вид:

   (3)

 ...............................................................

  Из входящих сюда 36 коэффициентов c_ij называются модулями упругости, 21 между собой независимы и характеризуют упругие свойства анизотропного материала.

  Для нелинейного упругого изотропного материала в равенствах (2) всюду вместо m входит коэффициент , а соотношение  заменяется равенством , где величина e_u называется интенсивностью деформации, а функции Ф и f , универсальные для данного материала, определяются из опытов. Когда

Ф (e_u ) достигает некоторого критического значения, возникают пластические деформации. Законы пластичности при пропорциональном возрастании нагрузок или напряжений (простое нагружение) имеют тот же вид, но с др. значениями функций Ф и f (законы теории малых упруго-пластических деформаций), а при уменьшении напряжений (разгрузке) имеют место соотношения (1) или (2), в которых вместо s_ij и e_ij подставляются их приращения (разности двух текущих значений).

  Математическая задача У. т. при равновесии состоит в том, чтобы, зная действующие внешние силы (нагрузки) и т. н. граничные условия, определить значения в любой точке тела компоненты напряжений и деформаций, а также компоненты u _x , u _y , и _z ; вектора перемещения каждой частицы тела, т. е. определить эти 15 величин в виде функций от координат x , у, z точек тела. Исходными для решения этой задачи являются дифференциальные уравнения равновесия:

  ,

, (4)

  где r – плотность материала, XYZ – проекции на координатные оси действующей на каждую частицу тела массовой силы (например, силы тяжести), отнесённые к массе этой частицы.

  К трём уравнениям равновесия присоединяются 6 равенств (1) в случае изотропного тела и ещё 6 равенств вида:

  , …, , …, (5)

  устанавливающих зависимости между компонентами деформаций и перемещений.

  Когда на часть S ₁ граничной поверхности тела действуют заданные поверхностные силы (например, силы контактного взаимодействия), проекции которых, отнесённые к единице площади, равны F _x , F _y , F _z , а для части S ₂ этой поверхности заданы перемещения её точек j_х , j_у , j_z , граничные условия имеют вид:

   (на S ₁ ) (6)

  , ,  (на S ₂ ) (7)