Большой роман о математике. История мира через призму математики

Изысканная катастрофа Гёделя

Теорема Геделя о неполноте является памятником математического мышления. Для того чтобы попытаться понять общий принцип, мы должны рассмотреть более подробно, что же такое математика. Вот два простейших арифметических утверждения:

A. Сумма двух четных чисел всегда будет четной.

B. Сумма двух нечетных чисел всегда будет нечетной.

Эти два утверждения достаточно понятные, и могут быть легко написаны на алгебраическом языке Виета. Немного подумав, вы увидите, что первое из этих утверждений, обозначенное как А, верное, в то время как второе, обозначенное как B, является ложным, так как сумма двух нечетных чисел всегда четная. Что приводит нас к следующим двум новым заявлениям:

С. Утверждение А верно.

Д. Утверждение Б ложно.

Эти два новых утверждения обладают некоторыми особенностями. Это не совсем математические утверждения, а скорее утверждения о математических утверждениях! Утверждения С и D, в отличие от А и В, могут априори не быть написаны на символическом языке Виета. Они не касаются ни чисел, ни геометрических фигур или какого-либо другого объекта арифметики, теории вероятности или исчисления бесконечно малых величин. Это то, что мы называем метаматематическими утверждениями, то есть такими, которые относятся к самой математике, а не к ее объектам изучения! Теорема – это математический объект. Утверждение, что теорема верна, является метаматематическим.

Различие может показаться тонким и незначительным, но только благодаря невероятно изобретательной формализации метаматематики Гёделю удалось доказать свою теорему. Открытие австрийского ученого позволило описать даже метаматематические утверждения на языке математики! Если рассматривать в своих рассуждениях утверждения как числа, предметом математики становятся не только числа, геометрия или теория вероятностей, но и сама математика!

Вещь, которая говорит сама о себе, это вам ничего не напоминает? Помните знаменитый парадокс Эпименида? Греческий поэт однажды сказал, что все критяне – лжецы. Эпименид сам был критянином, поэтому невозможно было определить, истинно или ложно это утверждение – в нем содержалось противоречие. Змея, кусающая себя за хвост. Вплоть до этого дня при формулировании математических утверждений самореферентные утверждения такого рода избегались. Но с помощью своей методики Гёделю удалось воспроизвести аналогичное явление в математике. Посмотрите на следующее утверждение:

G. Утверждение G нельзя доказать с помощью аксиом теории.

Это яркий пример метаматематического утверждения, но благодаря ловкости мысли Гёделя оно может быть выражено на языке математики. Поэтому стало возможным попытаться доказать G на основании аксиом теории. Рассмотрим два случая.

Предположим, что доказать утверждение G возможно; в этом случае оно неверно, то есть ложно, т. к., согласно утверждению G, оно не доказуемо. Если можно доказать ложное утверждение, то делаем вывод, что теория непоследовательна!

Теперь предположим, что доказать утверждение G невозможно. В этом случае утверждение G является истинным, и это означает, что аксиомы теории не в состоянии доказать утверждение, которое, тем не менее, верно! Таким образом, теория является неполной, поскольку есть истины, которые невозможно доказать с ее помощью.

Исходя из этого, в любом случае мы потерпим фиаско. Теория либо непоследовательна, либо неполна. Теорема о неполноте Гёделя определенно разрушила надежды Гильберта. И бесполезно пытаться обойти эту проблему, взяв за основу другую теорию, так как сделанный вывод применим не только к «Принципам математики», но и к любой другой теории, которая придет ей на смену. Уникальная и совершенная теория, с помощью которой можно доказать любую теорему, не может существовать в принципе.

Тем не менее надежда оставалась. Утверждение G, безусловно, неразрешимо, но необходимо признать, что оно не очень интересно с математической точки зрения и было сделано исключительно из стремления Гёделя применить парадокс Эпименида. Так, можно еще было надеяться, что значительные проблемы математики, которые вызывают подлинный интерес, не попадают в ловушку самореференции.

К сожалению, пришлось столкнуться с неизбежным подтверждением еще раз. В 1963 г. американский математик Пол Коэн доказал, что первые двадцать три проблемы Гильберта также принадлежали к этой странной категории неразрешимых утверждений. Невозможно их доказать или опровергнуть с помощью аксиом «Принципов математики». Если удастся найти решение первой проблемы, оно в любом случае будет частью другой теории. Но в этой новой теории, в свою очередь, появятся собственные пробелы и другие неразрешимые утверждения.