Брайан Грин. Ткань космоса: Пространство, время и структура реальности

Мы уже сталкивались с одной формой, которая отвечает всем требованиям. Сферическая форма воздушного шара оказалась ключевой составляющей к установлению симметрии между Линкольнами на монетках на раздувающейся поверхности, также и трехмерная версия этой формы, так называемая 3-сфера, является одним из кандидатов на форму пространства. Но это не единственная форма, которая дает полную симметрию. Продолжая по причине более легкой визуализации двумерные модели, представим бесконечно широкий и бесконечно длинный резиновый лист – такой, который полностью неискривлен, – с равномерно распределенными монетками, наклееными на его поверхность. Если весь лист расширяется, то опять имеется полная пространственная симметрия и полное соответствие открытию Хаббла; каждый Линкольн видит, что каждый другой Линкольн удаляется со скоростью, пропорциональной расстоянию до него, как показано на Рис. 8.4. Поэтому трехмерная версия этой формы, подобная бесконечно протяженному кубу из прозрачной резины с галактиками, равномерно разбросанными по его внутренности, является другой возможной формой для пространства. (Если вы предпочитаете кулинарные аналогии, подумайте о бесконечно большой версии посыпанного маком пирога, упоминавшегося ранее, одной из форм, аналогичных кубу, но продолжающейся бесконечно и с рассыпанным маком, играющим роль галактик. Когда пирог печется, тесто расширяется, заставляя каждое маковое зерно удаляться от других). Эта форма называется плоским пространством, поскольку, в отличие от сферического примера, она не имеет кривизны (понятие "плоский", которое используют математики и физики, однако, отличается от разговорного понятия "расплющенного в блин"[11]).

Одна чудесная мысль относительно как сферической, так и бесконечной плоской формы заключается в том, что вы можете бесконечно идти по ней и никогда не достигнете края или границы. Это привлекательно, поскольку позволяет нам избежать тяжелых вопросов: Что находится за краем пространства?

(а) (b)

Рис 8.4 (а) Вид от любой монетки на бесконечном плоском листе является тем же самым, как и вид от любой другой монетки, (b) Чем дальше друг от друга удалены две монетки на Рис. 8.4а, тем больше будет увеличение расстояния между ними, когда плоскость расширяется.

Что произойдет, если вы дойдете до границы пространства? Если пространство не имеет краев или границ, вопрос не имеет смысла. Но отметим, что две формы обеспечивают это дополнительное условие различным способом. Если вы идете прямо вперед в пространстве сферической формы, вы найдете, подобно Магеллану, что рано или поздно вы вернетесь в стартовую точку, никогда не столкнувшись с краем. В отличие от этого, если вы идете прямо вперед в бесконечном плоском пространстве, вы найдете, что подобно Энерджайзеру Банни, вы можете идти и идти, опять таки, никогда не столкнувшись с краем, но также никогда и не возвратившись в место, откуда вы начали путешествие. Хотя это может показаться фундаментальным отличием между геометрией искривленной и плоской формы, имеется простое изменение плоского пространства, которое поразительным образом похоже в этом смысле на сферу.

Чтобы проиллюстрировать это, подумаем об одной из тех видеоигр, в которых экран кажется имеющим края, но на самом деле их не имеет, поскольку вы не можете реально выпасть из экрана: если вы выдвигаетесь за правый край, вы снова появляетесь на левом; если вы выдвигаетесь за верхний край, вы снова появляетесь на нижнем. Экран "зациклен" путем идентификации верхнего края с нижним, а левого с правым, и, таким образом, форма плоская (неискривленная) и имеет конечный размер, но не имеет краев.

Рис 8.5 (а) Экран видеоигры плоский (в смысле "неискривленный") и имеет конечный размер, но не содержит краев или границ, поскольку он "зациклен". Математически такая форма называется двумерным тором. (b) Трехмерная версия той же формы, называемая трехмерным тором, также плоская (в смысле неискривленная) и имеет конечный объем, а также не имеет краев или границ, поскольку зациклена. Если вы проходите через одну сторону, вы входите через противоположную сторону.