Быстрый счет

48*1¹/₄ =48 +12=60

58*1¹/₄ = 58+14 ¹/₂=72¹/₂ или 72,5

§ 15

Чтобы устно умножить число на 2¹/₂. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.

Например: 18*2¹/₂.=36+9= 45;

39*2¹/₂.= 78 + 19'¹/₂.= 97¹/₂ (или 97,5)

Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:

18*2¹/₂ = 90:2 = 45

§ 16.

Чтобы устно умножить число на ³/₄ (т. е. чтобы найти ³/₄ этого числа), умножают число на 1¹_/2 и делит пополам. Например:

30 * ³/₄ = (30+15)/2= 22¹/₂ (или 22,5)

Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Умножение на 15, на 125, на 75

§ 17

Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 1¹/₂, (потому что 10*1¹/₂ =15) Например:

18*15=18*1¹/₂*10=270

45*15=450+225=675

§ 18.

Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 1¹_/4 (потому что 100*1¹_/4⁼125). Например:

26*125 = 26*100*1¹_/4 = 2600 + 650 = 3250

47*125 = 47*100*1¹_/4 = 4700+4700/4= 4700+1175 = 5875

§ 19.

Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на ³/₄ (потому что 100*³/₄=75). Например:

18*75= 18*100*³/₄ =1800* ³/₄ =(1800 + 900)/2=1350

Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6

18*15 = 90*3 = 270

26*125 = 130*25 = 3250

Умножение на 9 и на 11

§ 20.

Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:

62*9=620-62=600—42=558

73*9=730-73=700—43=657

§ 21

Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:

87*11=870+87=957

Деление на 5, на 1¹_/2,на 15

§ 22

Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числ-последнюю цифру. Например:

68:5=136:10=13,6

237:5 =474:10=47,4

§ 23

Чтобы устно разделить число на 1¹_/2 делят удвоенное число на 3. Например:

36:1¹_/2=72:3=24

53:1¹_/2=106:3=35¹/₃

§ 24.

Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например

240:15=480:30=48:3=16

462:15=924:30=30²⁴/₃₀=30⁴/₅=30,8 (или 924:30 =308:10=30,8)

Возвышение в квадрат

$ 25.

Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8*9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:

25²; 2*3=6; 625

45²; 4*5= 20; 2025

145²; 14*15 = 210; 21025

Прием этот вытекает из формулы (10х+5)² = 100х²+100х+25=100х(х+1)+25

§ 26.

Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

8,5² = 72,25

14,5²⁼210,25

0,35² = 0,1225_f и т. п.

§ 27.

Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом § 25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½:

(8½ )² =72 ¼

(14½)² = 210 ¼ и т п.

§ 28.

При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a +-b)² = a² +b²+- 2ab.

Например: 41²⁼40² +1+2*40= 1601+80= 1681

69²=70²+1-2*70=4901-140=4761

36² =(35+1)²=1225+1+ 2*35=1296

Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.

Вычисления по формуле

(а+b) (а-b) = а² — b²

§ 29.

Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48

Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2)

и применяем приведенную в заголовке формулу:

(50+2)*(50—2)=50²-2²= 2496

Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:

69X71=(70—1)*(70+1)=4899

33X27=(30+3)*(30—3)=891

53X57=(55—2)*(55+2)=3021

84X86=(85-1)*(85+1)=7224

§ 30.

Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:

7 ½*6½=(7 + ½ )*(7 — ½)=48 _¾

11 ³/₄*12 ¹/₄= (12 - ¹/₄)*(12 +¹/₄) =143 ¹⁵/₁₆

Полезно запомнить:

37*З =111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37*6=37*3*2=222

37*9=37*3*3=333

37*12=37*3*4=444

37*15=37*3*5 =555 и т. д,

7*11*13=1001

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77*13=1001

77*26=2002

77*39=3003 и т. д.

91*11=1001

91*22=2002

91*33=3003 и т. д.

143*7=1001

143*14=2002

143*21=3003 и т. д.

В нашей книжечке указаны только простейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.