Диаспора

Теперь рассмотрим несколько иллюстративных примеров более подробно. Для их понимания желательно уверенное знание высшей математики и теории относительности, хотя я стараюсь

давать по возможности упрощенные определения (иногда даже в ущерб строгости). При первом чтении раздел, заключенный между символами ♠ и ♥ , можно опустить и вернуться к нему позднее.

♠ 

Глобально гиперболическое пространство Mназовем закороченным путем через червоточину (shortcut), если оно может быть получено из пространства Минковского (в котором обычно формулируется теория относительности) заменой любого времениподобного плоского цилиндра C = Σ³_i=1 x_i² < c²

  некоторым иным математическим объектом так, что пространственно-разделенные точки пространства Минковского становятся времениподобно-разделенными в Mи, следовательно, достижимыми по более короткому пути по сравнению с маршрутом через пространство Минковского. В качестве примера рассмотрим червоточину Морриса-Торна-Уилера с метрикой

ds² = ―dt² + dl² + r(l)²(dθ² + sin²θdφ²).　

Здесь r(l) ― гладкая четная функция с минимумом в нулевой точке r(0) = r₀. Для r > r₀ можно перейти к координате r

и переписать метрику в виде

 　

где вид функции β(r) удается выбрать в известной мере произвольно. В частности, оказывается, что пространство-время можно сделать плоским почти везде, кроме сферического тонкого слоя («доменной стенки») Ξ диаметром δ, в котором β не равно 0 .В этом слое энергетическая плотность будет порядка 1/(δr₀).

Для поддержания червоточины в рабочем состоянии достаточно сконцентрировать там порядка 10^-3М_ΘT₀ экзотической материи (здесь M_Θ - масса Солнца, применяется система величин, в которой G = c = h = 1), в то время как наивные оценки для сферически симметричной червоточины давали значение порядка 10³²M_Θ !

При учете квантовых эффектов оказывается, однако, что эти 35 порядков величины «переехали» в параметр δ: характерный диаметр слоя даже меньше планковской длины, что делает этот пример абсолютно бессмысленным с практической точки зрения. Тем не менее он послужил отправной точкой для более реалистичных конструкций.

Попробуем построить одну из них. Положим

l > l₀, r(―l₀) = 0　

(в этой области пространство-время идентично пространству-времени Минковского) и выберем г{[) так, чтобы

Сечение пространства-времени в этой метрике плоскостью t = Θ = 0 показано ниже (рисунок заимствован из работы S. Krasnikov, The quantum inequalities do not forbid spacetime shortcuts, Physical Review D 67 (10). 2003):

Тензор Эйнштейна для метрики Морриса-Торна-Уилера можно найти в ранее упоминавшемся учебнике Мизнера-Торна-Уилера «Гравитация» (уравнение 14.52). Из него следует, что нарушение ANEC действительно возможно только в сферическом слое

1 ©  (―l₁

,l₁).　

До сих пор выкладки соответствовали работе С. van den Broeck, A warp drive with more reasonable total energy requirements, Class. Quant. Grav., 16, 3973 (1999), по имени автора которой такое пространство-время называется «карманом ван ден Брука»; следует отметить, впрочем, что ван ден Брук опирался на известную работу Мигеля Алькубьерре (М. Alcubierre, The warp drive: hyper-fast travel within general relativity, class . Quant. Grav., 11: L73-L77 (1994).

Ван ден Брук выбрал значение rнеудачно и получил чрезмерно завышенное значение массы экзотической материи. Как заметил Красников в 2000 г., если принять г = (1/2l₁)l² + (l₁/2)в интервале    1 ©  (―l₁,l₁), требуется лишь порядка 100l₁, чтобы удержать пузырь ван ден Брука от схлопывания. Если принять l₁ = 1 м (в тесноте, да не в обиде), для поддержания формы горловины понадобится лишь 1 мг экзотической материи. Понятно, что, хотя с точки зрения внешнего наблюдателя портал ван ден Брука выглядит так, как если бы он был заключен в сфере радиусом r, значение rможно выбрать (в разумных пределах) настолько большим, насколько потребуется, чтобы поместить туда пассажиров и оборудование.