Диофантов кинжал

Пятая беседа состоялась через одну или две недели. Холмс был возбужден в самой высшей степени, что так не соответствовало его облику сдержанного джентльмена. - Ватсон, у меня, кажется, появилась ужасная мысль. Почему 2-2-2 - да, а 4-4-4 - нет (да - точка, нет - тире)? Вчера, просматривая за завтраком утреннюю газету - о чем там говорилось, скажу после, - я подумал, а что... а что если эти двойки и четверки записать в виде:

2 2 2 4 4 4 x + y = z , x + y = z .

Вы понимаете, Ватсон, что означают эти записи? - Конечно. Все-таки в колледже курс математики я проходил, x, y, z - некоторые числа. Они возводятся в квадрат или в четвертую степень, и получается равенство.

- Все верно, Ватсон. Только числа x, y, z должны быть целыми, натуральными - 1, 2, 5, 100000, но не 1.1 и не 0.95. И еще маленькое "но"... Кстати, что вы слышали о Пьере Ферма? - К сожалению, ничего. - Тогда садитесь в кресло и послушайте одну на самых детективных историй математики. В семнадцатом веке жил во Франции юрист Пьер Ферма. Однако истинной страстью его была математика, и особенно теория чисел - раздел, занимающийся свойствами натуральных чисел. Пьеру Ферма принадлежит множество первоклассных результатов. Им доказана, например, очень важная Малая теорема Ферма. Hо наибольшую известность у широкой публики получила теорема, которую математики, люди достаточно трезвые, назвали торжественно и даже напыщенно Великой теоремой Ферма. Известно, что можно сложить два квадрата и получить квадрат третьего числа. Это знали еще древние египтяне. Hапример, числа 3, 4, 5 так и называют египетские, так как

2 2 2 3 + 4 = 5 , т.е. 9 + 16 = 25.

Говоря математическим языком, равенство

2 2 2 x + y = z .

разрешимо в целых числах. А если теперь взять не вторую степень числа, а третью? Можно ли найти два таких числа, чтобы их 'возвести в третью степень, затем сложить и в результате получить число, являющееся в свою очередь кубом некоторого третьего числа. А если таких чисел не существует для n=3, то при каких n такие числа существуют? Так возникла проблема определить, при каких n равенство

n n n x + y = z