Читаем Дирак. Антивещество полностью

Если две матрицы согласуются друг с другом, то есть если Ó = Ö, говорят, что матрица Ó является эрмитово-сопряженной, и в этом случае можно доказать, что ее значения являются действительными. Три матрицы Паули, σxyz, являются эрмитово-сопряженными, и они «антикоммутативны» между собой, то есть соблюдают общие отношения, вытекающие из уравнения Дирака. Однако можно доказать, что любая матрица размера 2x2 может быть записана в виде линейной комбинации трех матриц Паули плюс единичная матрица. Это означает, что невозможно найти четвертую матрицу, которая антикоммутативна каждой из трех матриц Паули. Иными словами, уравнение Дирака требует, чтобы размер каждого из четырех матричных коэффициентов, подлежащих определению, был больше 2x2. Кроме того, матрицы Дирака удовлетворяют антикоммутационным соотношениям, и их след равен нулю.


В итоге его требования к новому квантовому релятивистскому уравнению электрона можно описать следующим образом.

1. Это должно быть дифференциальное уравнение первого порядка по времени, которое симметрично включает пространственные переменные, то есть с производными первого порядка.

2. Оператор Гамильтона должен быть самосопряженным — так, чтобы плотность вероятности определялась положительным значением и чтобы энергии были действительными.

3. Оно должно согласовываться с релятивистским выражением для энергии и быть релевантным для любой инерциальной системы отсчета.

Таким образом, Дирак предложил следующее общее уравнение:


Заметим, что два вида переменных — пространство и время — включены одним способом. Кроме того, существует дополнительный член уравнения, ßmc2, связанный с собственной массой электрона, то есть с массой в системе, в которой он находится в состоянии покоя. Уравнение зависит от четырех неизвестных коэффициентов: αxy

z,β. Таким образом, вопрос состоит в том, как их определить. Для этого Дирак должен был доказать совместимость своего уравнения с релятивистским выражением для энергии.

Он полностью осознавал «эквивалентность» квантовых операторов и соответствующих классических величин. Кстати, именно это соответствие позволило объяснить форму уравнения Шрёдингера и уравнения Клейна — Гордона. Используя аналогию между классическим и квантовым миром, квантовое уравнение, предложенное Дираком, вело к следующему классическому уравнению для энергии:

Е= с (αxpx + αyрy + α

zpz) + ßmc2.

Как связать данное уравнение, линейное в трех составляющих кинетического момента со сложным релятивистским выражением энергии, в котором появляется квадратный корень? Дирак искал способ, позволивший бы ему записать в линейном виде релятивистское уравнение энергии, определив четыре неизвестных коэффициента. Первым большим шагом вперед в этом направлении было открытие того, что его квантовое уравнение может быть совместимым с релятивистским выражением для энергии, только когда введенные им коэффициенты не коммутируют между собой и, кроме того, если квадрат каждого оператора равен единице. Математически это выражается в следующей форме:

αiαj = - αj

αi (i ≠ j); αiβ = - βαii = β2 = 1.

Индексы i,j относятся к любой из трех пространственных составляющих: х, у, z. Коэффициенты Дирак интерпретировал как матрицы. Последнее означало, что волновая функция Ψ содержит разные составляющие, помимо своей зависимости от временных и пространственных переменных. Это было новостью. В предыдущем 1927 году Паули уже представил волновую функцию с двумя составляющими, связанными с двумя возможными значениями спина.

Перейти на страницу:

Все книги серии Наука. Величайшие теории

Похожие книги

The Beatles от A до Z: необычное путешествие в наследие «ливерпульской четверки»
The Beatles от A до Z: необычное путешествие в наследие «ливерпульской четверки»

Британский писатель, продюсер и музыкант Питер Эшер рассказывает историю «Битлз» через песни: их собственные, их коллег, предшественников и последователей. Для этого он использует классическую алфавитную систему, однако применяет ее неожиданным образом. К примеру, вы не встретите известнейших «Yesterday» на букву Y или «All you need is love» на букву A, вместо этого Эшер рушит устоявшиеся ассоциации и заменяет их другими, показывая даже привычные треки с новой стороны. При этом автор так искусно препарирует музыкальные композиции, указывая нам на важные и «вкусные» детали, что вам гарантированно захочется все это переслушать – так не отказывайте себе в удовольствии.И не забывайте, что Эшер лично знал легендарную «четверку», ведь Пол Маккартни даже когда-то жил в его доме! Поэтому здесь нашлось место и для уникальных историй и воспоминаний, которые вряд ли можно прочесть где-либо еще.Эта книга – повод влюбиться в музыку «Битлз» снова.

Питер Эшер

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература
История Бога: 4000 лет исканий в иудаизме, христианстве и исламе
История Бога: 4000 лет исканий в иудаизме, христианстве и исламе

Откуда в нашем восприятии появилась сама идея единого Бога?Как менялись представления человека о Боге?Какими чертами наделили Его три мировые религии единобожия – иудаизм, христианство и ислам?Какое влияние оказали эти три религии друг на друга?Известный историк религии, англичанка Карен Армстронг наделена редкостными достоинствами: завидной ученостью и блистательным даром говорить просто о сложном. Она сотворила настоящее чудо: охватила в одной книге всю историю единобожия – от Авраама до наших дней, от античной философии, средневекового мистицизма, духовных исканий Возрождения и Реформации вплоть до скептицизма современной эпохи.3-е издание.

Карен Армстронг

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература