Эврика! Радость открытия. Архимед

Можно провести аналогичное умозрительное построение, если использовать понятие площади, причем так будет даже нагляднее. Целью в таком случае будет вычислить площадь круга, ограниченного данной окружностью. Мы знаем, что эта площадь высчитывается по уравнению S = r^2. Заметим, что если принять радиус за единицу (r = 1), то площадь будет равна . Иначе говоря, если мы вычислим площадь окружности с радиусом 1, то получим число . Архимед предполагал построить круг и как вписывать в него, так и описывать вокруг него правильные многоугольники, начиная с шестиугольника. Площадь круга S_c будет больше площади вписанного шестиугольника SH_p и меньше площади описанного SH_G (см. серые сегменты на рисунке 1). Этим методом невозможно точно определить площадь, но можно установить ее пределы: 2,5981 < S < 3,4641, то есть она больше площади маленького шестиугольника (2,5981) и меньше площади большого (3,4641). Гениальная находка Архимеда состояла в том, чтобы удвоить число углов многоугольника, доведя его до 12-угольника (рисунок 2). В данном случае значение площади круга лежит между двумя более близкими величинами, так что расчет становится более точным, поскольку площади обоих многоугольников приближаются друг к другу.

РИС. 1

РИС. 2

Архимед продолжил удваивать число углов дальше и в конце концов дошел до многоугольника с 96 сторонами! Это позволило ему доказать, что значение площади круга лежит между 3+10/71 и 3+1/7:

«Окружность любого круга составляет три его диаметра и еще менее 1/7 и более 10/71 его части» («Об измерении круга», утверждение 3):

3 + 10/71 < S_c

<3 + 1/7, то есть, 3,1408 < S_c < 3,14029.

Таким образом, площадь круга с радиусом 1 составит 3,14, с точностью до двух знаков после запятой. Тут важно отметить: Архимед знал, что он вывел неточное значение. Ведь помещая площадь между двумя разными значениями, ученый прекрасно понимал, что выполняет только приближение.

Окружность в квадрате

Согласно еще одному интересному рассуждению, которое можно найти в трактате «Об измерении круга», площадь вписанного в квадрат круга относится к площади этого квадрата как 11/14. И в данном контексте мы тоже приходим к тому же значению — приблизительно 3,14. Рассмотрим следствие из этого положения. Во- первых, давайте внимательнее посмотрим на чертеж справа.

Площадь круга: S_круга = r^2.

Площадь квадрата: S_{квадрата} = (2r)^2=4r^2.

Соотношения, которые их связывают:

площадь круга/площадь квадрата = r^2/4r^2 = /4

То, что выяснил Архимед:

площадь круга/площадь квадрата = 11/14

Очевидно, что это одна и та же величина, и мы помним, что все выкладки Архимеда приблизительны:

/4 ~ 11/14 ~ 3.14

Доказательство от противного

В трактате «Об измерении круга» утверждается:

Каждый круг равен прямоугольному треугольнику, один из катетов которого равен радиусу круга, а другой — длине окружности.

Имеется в виду равенство их площадей. Для доказательства (см. рисунок) ученый приводит следующие соображения.

— «Предположим, что площадь круга больше площади треугольника: S_круга > S_{треугольника}». Архимед показывает, что такое неравенство невозможно.

— «Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника: S_круга

< S_{треугольника}». Архимед доказывает, что невозможно и это.

— Учитывая, что площадь круга не может быть ни меньше, ни больше площади треугольника, они должны быть равны: S_круга = S_{треугольника}.

Пользуясь нынешним алгебраическим языком, вышесказанное можно доказать гораздо легче:

— S_круга = r^2.

— S_{треугольника} = (основание • высота)/2 = 2r*r/2 = r^2

— Что означает: S_круга = S_{треугольника}.

Пусть это изобразят на моем надгробии!

В утверждении 34 трактата «О шаре и цилиндре» содержится результат, которым, как нам точно известно, более всего гордился Архимед:

Соотношение объемов цилиндра и вписанного в него шара равно 3/2. Соотношение площадей поверхности цилиндра и вписанного в него шара также равно 3/2 (см. рисунок):

V_{цилиндра} 3/2 V_шара

S_{цилиндра} = 3/2 S_шара

Он смог найти абсолютно точное отношение между объемами шара и цилиндра, в который тот вписан. Речь идет о случае, когда диаметр шара равен как диаметру основания цилиндра, так и его высоте. Объем цилиндра получается в полтора раза (3/2) больше объема шара. Такое же соотношение и у площадей их поверхностей. Как мы уже говорили, Архимед даже завещал выбить изображение шара, вписанного в цилиндр, на своем надгробном памятнике вместо эпитафии. В I веке до н. э. Цицерону, по его словам, удалось увидеть это надгробие. До нашего времени оно, к сожалению, не дошло.

РИС.З

РИС. 4