Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Вообще говоря, тензор напряжений в куске твердого тела, а также его эллипсоид изменяются от точки к точке, поэтому для описания всего куска мы должны задать каждую компонен­ту S_ijкак функцию положения. Тензор напряжений, таким об­разом, является полем. Мы уже имели примеры скалярных по­лей, подобных температуре Т(х, у, z), и векторных полей, по­добных Е(х, у, z), которые в каждой точке задавались тремя числами. А теперь перед нами пример тензорного поля, задавае­мого в каждой точке пространства девятью числами, из кото­рых для симметричного тензора S_ijреально остается только шесть. Полное описание внутренних сил в произвольном твер­дом теле требует знания шести функций координат х, у и z.

§ 7. Тензоры высших рангов

Тензор напряжений S_ijописывает внутренние силы

в веществе. Если при этом материал упругий, то внутренние деформа­ции удобно описывать с помощью другого тензора T_ij— так называемого тензора деформаций. Для простого объекта, подоб­ного бруску из металла, изменение длины DL, как вы знаете, приблизительно пропорционально силе, т. е. он подчиняется закону Гука

DL=gF.

Для произвольных деформаций упругого твердого тела тензор деформаций T_ijсвязан с тензором напряжений S_ijсистемой линейных уравнений

Вы знаете также, что потенциальная энергия пружины (или бруска) равна

а обобщением плотности упругой энергии для твердого тела будет выражение

Полное описание упругих свойств кристалла должно задаваться коэффициентами g_ijkl. Это знакомит нас с новым зверем — тен­зором четвертого

ранга. Поскольку каждый из индексов может принимать одно из трех значений — х, у или z, то всего ока­зывается 3⁴=81 коэффициент. Но различны из них на самом де­ле только 21. Во-первых, поскольку тензор S_ij симметричен, у него остается только шесть различных величин, и поэтому в уравнении (31.27) нужны только 36 различных коэффициен­тов. Затем, не изменяя энергии, мы можем переставить S_ijи S_kl, так что g_ijkl должно быть симметрично при перестановке пары индексов ij и kl. Это уменьшает число коэффициентов до 21. Итак, чтобы описать упругие свойства кристалла низшей воз­можной симметрии, требуется 21 упругая постоянная! Разу­меется, для кристаллов с более высокой симметрией число необходимых постоянных уменьшается. Так, кубический кри­сталл описывается всего тремя упругими постоянными, а для изотропного вещества хватит и двух.

В справедливости последнего утверждения можно убе­диться следующим образом. В случае изотропного материала компоненты g_ijklне должны зависеть от поворота осей. Как это может быть? Ответ:

они могут быть независимы, только когда выражаются через тензоры d_ij. Но существует лишь два воз­можных выражения, имеющих требуемую симметрию,— это d_ijd_kl и d_ikd_jl+d_il+d_jk, так что g_ijkl должно быть их линейной комбинацией. Таким образом, для изотропного материала

g_ijkl =а(d_ijd_kl) + b(d_ikd_jl+d_il

d_jk);

следовательно, чтобы описать упругие свойства материала, тре­буются две постоянные: а и b. Я предоставляю вам самим до­казать, что для кубического кристалла требуются три такие постоянные.

И еще один последний пример (на этот раз пример тензора третьего ранга) дает нам пьезоэлектрический эффект. При на­пряженном состоянии в кристалле возникает электрическое поле, пропорциональное тензору напряжений. Общий закон пропорциональности имеет вид

где e_i— электрическое поле, a P_ijk— пьезоэлектрические коэф­фициенты (пьезомодули), составляющие тензор. Можете ли вы сами доказать, что если у кристалла есть центр инверсии (т. е. если он инвариантен относительно замены х, у, z®-х,-y,-z), то все его пьезоэлектрические коэффициенты равны нулю.

§ 8. Четырехмерный тензор электро­магнитного импульса

Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства при пространственных поворотах. А вот в гл. 26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном про­странстве-времени: это был тензор электромагнитного поля F_mv. Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, прав­да, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Ло­ренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «простран­стве», называемом пространством Минковского; тогда аналогия с тем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.)