Feynmann 2a

Иными словами, когда частица движется по окружности, гори­зонтальная составляющая движения имеет ускорение, пропор­циональное горизонтальному смещению от центра. Конечно, мы знаем решения для случая движения по окружности: x=Rcosw₀t. Уравнение (21.7) не содержит радиуса окружности; оно оди­наково при движении по любой окружности при одинаковой w₀.

Таким образом, имеется несколько причин, по которым следует ожидать, что отклонение грузика на пружинке окажется пропор­циональным cosw₀t и движение будет выглядеть так, как если бы мы следили за x-координатой частицы, движущейся по окружно­сти с угловой скоростью w₀ . Проверить это можно, поставив опыт, чтобы показать, что движение грузика вверх-вниз на пружинке в точности соответствует движению точки по окружности. На фиг. 21.3 свет дуговой лампы проектирует на экран тени дви­жущихся рядом воткнутой во вращающийся диск иголки и вер­тикально колеблющегося груза.

Фиг. 21.3. Демонстрация экви­валентности простого гармони­ческого движения и равномерного движения по окружности.

Если вовремя и с нужного места заставить грузик колебаться, а потом осторожно подобрать скорость движения диска так, чтобы частоты их движений сов­пали, тени на экране будут точно следовать одна за другой. Вот еще способ убедиться в том, что, находя численное реше­ние, мы почти вплотную подошли к косинусу.

Здесь можно подчеркнуть, что поскольку математика равно­мерного движения по окружности очень сходна с математикой колебательного движения вверх-вниз, то анализ колебатель­ных движений очень упростится, если представить это движе­ние как проекцию движения по окружности. Иначе говоря, мы можем дополнить уравнение (21.2), казалось бы, совершенно лишним уравнением для у и рассматривать оба уравнения совместно. Проделав это, мы сведем одномерные колебания к движению по окружности, что избавит нас от решения дифферен­циального уравнения. Можно сделать еще один трюк — ввести комплексные числа, но об этом в следующей главе.

§ 4. Начальные условия

Давайте выясним, какой смысл имеют А и В или а и D. Конечно, они показывают, как началось движение. Если движе­ние начнется с малого отклонения, мы получим один тип коле­баний; если слегка растянуть пружинку, а потом ударить по грузику — другой. Постоянные А и В или а и D, или какие-нибудь две другие постоянные определяются обстоятельствами, при которых началось движение, или, как обычно говорят, начальными условиями. Нужно научиться определять постоян­ные, исходя из начальных условий. Хотя для этого можно использовать любое из соотношений (21.6), лучше всего иметь дело с (21.6в). Пусть в начальный момент t=0 грузик смещен от положения равновесия на величину х₀ и имеет скорость v₀. Это самая общая ситуация, какую только можно придумать. (Нельзя задать начального ускорения, потому что оно зависит от свойств пружины; мы можем распорядиться только величи­ной х₀.) Вычислим теперь А и В. Начнем с уравнения для

х=Acosw_ot+Bsinw₀t;

поскольку нам понадобится и скорость, продифференцируем х и получим

v=-w₀Asinw₀t+w₀Bcosw₀t.

Эти выражения справедливы для всех t, но у нас есть допол­нительные сведения о величинах х и v при t=0. Таким образом, если положить t=0, мы должны получить слева х₀ и v₀, ибо это то, во что превращаются х и v при t=0. Кроме того, мы знаем, что косинус нуля равен единице, а синус нуля равен нулю. Следовательно,

х₀=А·1+В·0=А

и

v_u=-w₀A·0+w₀B·1=w₀B.

Таким образом, в этом частном случае

А=х₀, В=v₀/w₀.

Зная А и В, мы можем, если пожелаем, найти а и D.

Итак, задача о движении осциллятора решена, но есть одна интересная вещь, которую надо проверить. Надо выяснить, сохраняется ли энергия. Если нет сил трения, то энергия долж­на сохраняться. Сейчас нам удобно использовать формулы

х=acos(w_ot+D) и v=-w₀asin(w₀t+D).

Давайте найдем кинетическую энергию Т и потенциальную энергию U. Потенциальная энергия в произвольный момент времени равна ¹/₂kx², где х — смещение, a k — постоянная упругости пружинки. Подставляя вместо х написанное выше выражение, найдем

U=¹/₂kx²=¹/₂ka²cos² (w₀t+D).

Разумеется, потенциальная энергия зависит от времени; она всегда положительна, это тоже понятно: ведь потенциальная энергия — это энергия пружины, а она изменяется вместе с х. Кинетическая энергия равна ¹/₂mv²; используя выражение для v, получаем

Т = ¹/₂mv²=¹/₂mw²₀a²sin²(w₀t+D).