Feynmann 3

Здесь мы должны обратиться к физическому смыслу нашего примера. В любой реальной ситуации плоскость зарядов не может быть бесконечной, а должна где-то оборваться. Если плоскость резко обрывается и ее граница имеет точно форму окружности, то наш интеграл будет равен некоторому значению на этой окружности (см. фиг. 30.11). Если же плотность зарядов

Фиг. 30.11. Вычисление интегра­ла

графическим способом.

постепенно уменьшается по мере удаления от центра (или обра­щается в нуль вне некоторой границы неправильной формы, так что для достаточно больших r вклад всего кольца шириной dr равен нулю), то коэффициент ню в точном интеграле убывает, стремясь к нулю. Поскольку длина добавляемых отрезков в этом случае уменьшается, а угол Dq остается тем же самым, график кривой, соответствующей интегралу, будет иметь вид спирали. Спираль оканчивается в центре первоначальной ок­ружности, как изображено на фиг. 30.12. Физически правиль­ное значение интеграла дается величиной А, которой на схеме соответствует расстояние от начальной точки до центра окруж­ности, равное как нетрудно убедиться.

(30.17)

Точно такой же результат мы получили бы из (30.16), положив e^-iҐ=0.

(Есть еще одна причина, почему вклад в интеграл от больших значений r стремится к нулю,— это опущенный нами множитель, учитывающий проекцию ускорения на плоскость, перпендику­лярную линии PQ.)

Нас, конечно, интересует именно случай, имеющий физи­ческий смысл, поэтому мы положим е^-iҐ

равным нулю. Возвраща­ясь к формуле (30.12) для поля и вводя все опущенные ранее множители, мы получаем

(30.18)

(помня, что l/i =-i).

Интересно отметить, что iwx

₀e^iwt в точности равно скорости зарядов, так что выражения для поля можно переписать в виде

Этот результат немного странен, потому что запаздывание отве­чает расстоянию z, которое есть кратчайшее расстояние от Р до плоскости. Но таков ответ, и, к счастью, формула довольно проста. [Добавим кстати, что, хотя формулы (30.18) и (30.19) бы­ли получены только для достаточно большого расстояния от плоскости, обе они оказываются правильными для любых z,