Философия символических форм Э. Кассирера

Ответ на этот вопрос Кассирер ищет в математической логике. Любопытно, что сама эта логика возникла из стремления свести «содержание» понятия к его «объему»; уже Шредер строил свою «Алгебру логики» на понятии класса, мысля под классом агрегат охватываемых им элементов. Связь этих элементов сводится, по Шредеру, к простейшему отношению, выражаемому союзом «и» (Und-Relation). Но против такой концепции понятия возникли серьезные возражения в самой математической логике. Так, Фреге удалось доказать, что понятие логически предшествует своему объему, и всякая попытка основать объем понятия в качестве класса не на понятии, а на отдельных вещах, обречена на неудачу. Связь между математикой и логикой устанавливается у Фреге не через понятие класса, а через понятие функции.

Аналогичное утверждает и Рассел. Существует, по Расселу, два пути определения класса: один, когда его члены мыслятся раздельно и связуются друг с другом агрегативно, с помощью союза «и», — и другой, когда указывается общий признак, некоторое условие, достаточное для всех членов класса. Это последнее — «интенсиональное» — образование класса Рассел противопоставляет первому — «экстенсиональному», и хотя сам он рассматривает их различие в чисто психологическом смысле, преимущество дефиниции через интенсию, по Кассиреру, не только субъективно, но и объективно. Прежде всего она дает возможность мыслить и такие классы, которые включают в себя неисчислимое множество элементов. С другой стороны, очевидно, что прежде чем сосредоточить элементы класса и экстенсивно выявлять их через исчисление, необходимо решить, какие именно элементы рассматриваются как принадлежащие

к классу, а этот вопрос может быть решен только на основе понятия класса в «интенсиональном» смысле слова. Стало быть, объединенные в класс элементы мыслимы как переменные определенной высказывательной функции

и именно эту последнюю, а не элементарную мысль о множестве считает Кассирер сердцевиной понятия.

Что же такое «высказывательная функция»? Необходимо строго отличать ее от определенного частного высказывания, от суждения в обычном логическом смысле. Говоря словами Когена, она есть не что иное, как «логический шаблон» суждений, а не само суждение, поскольку в ней отсутствует решительный признак последнего: сама по себе она ни истинна, ни ложна. Истина или ложь присущи всегда лишь отдельному суждению, в котором определенный предикат относится к определенному

субъекту, тогда как высказывательная функция начисто лишена такой определенности и устанавливает лишь общую схему, нуждающуюся в заполнении определенными значениями, дабы получить характер отдельного высказывания. Рассел обозначает ее как функцию, чьи значения суть суждения. В этом смысле всякое математическое уравнение является примером для этой функции. Так, приводя расселовский пример, уравнение х² + 2х + 8 = 0 будет истинным лишь в том случае, если вместо неопределенной величины мы поставим соответствующую величину, тогда как для всех других величин оно будет ложным. Понятие «класса» получает, таким образом, общую, чисто «интенсиональную» дефиницию. Если теперь мы рассмотрим все х, которые имеют свойство принадлежать к типу некоторой высказывательной функции φ(x), и объединим значения х, оказывающиеся истинными для этой функции, то мы тем самым, благодаря функции φ(x), получим определенный класс. В этом смысле каждая высказывательная функция в итоге дает класс: класс х, которые суть φ(x); сама же функция, определяя класс, остается «логически неопределенной».