Физика повседневности. От мыльных пузырей до квантовых технологий

Снелл, Декарт и Ферма

Давайте вспомним закон, названный во Франции законом Снелла – Декарта или просто законом Декарта, а в других странах – законом Снеллиуса (см. главу 2, «Отражение и преломление световых волн»). Декарт, по-видимому, первым опубликовал его в трактате «Диоптрика» в 1637 году, но закон уже был открыт голландским математиком Виллебрордом Снеллом, или Снеллиусом (1580–1626), а до него – персидским ученым Ибн Салемом в конце X века.

Снелл, вероятно, основывался на экспериментальных работах, в то время как Декарт утверждал, что открыл этот закон, приравняв луч света к траектории пули. Это не слишком понятное доказательство было раскритиковано Пьером де Ферма в работе, опубликованной в 1662 году под названием «Сумма о преломлениях» (Synth`ese pour les r'efractions). Принцип Ферма, изложенный в этом тексте, гласит, что свет проходит по пути, который позволяет ему скорейшим образом перейти от точки А к точке В (см. илл.). Предоставим читателю вывести закон Снеллиуса из принципа Ферма, что не составит труда при наличии некоторого знания тригонометрии и дифференциального исчисления. Просто найдите точку C, которая минимизирует время, затраченное светом, чтобы пройти по пути ABC, – это время равно (AC/c) + (BC/v), где c

 – скорость света в воздухе и v = c/

n – его скорость в воде.

Если доказательство Декарта любопытно скорее с исторической стороны, то принцип Ферма сохраняет определенный интерес и для современной физики. Кроме того, именно Декарт первым объяснил появление двух радуг и рассчитал соответствующие углы отклонения.

Аналогия с проблемой спасателя

Спасатель (А), которому нужно как можно скорее спасти пловца (B), бежит по пляжу быстрее, чем плывет в море. Самый краткий путь, прямой (1), не будет самым быстрым: спасатель потеряет много времени в море. Если же он максимально сократит время плавания (3), то значительно увеличит путь по пляжу. В итоге самый быстрый путь (2), проходящий через C, – тот, который отвечает закону Снеллиуса

Так объясняется появление световых дуг, но не их цветов… На самом деле точное значение угла отражения зависит от цвета, так как показатель преломления воды n увеличивается, когда длина волны уменьшается. Итак, для фиксированного угла падения i угол преломления увеличивается с длиной волны, то есть двигается от синего к красному. Это значит, что отклонение на входе и выходе капли сильнее для синего, чем для красного. Таким образом, с внешней стороны дуги появляется красный цвет. Все наоборот во вторичной радуге, цвета которой расположены в обратном порядке: красный внутри. Эти вытекающие из геометрии и законов преломления странности – примеры сюрпризов, что порой несут нам научные расчеты.

А птицы?