Физика пространства - времени

c^2

,

c

1-(v

_r

^2/c^2)

(48)

где

v_r

c

=

th

_r

.

Запишите в тех же обозначениях и обратное преобразование Лоренца.

16*. Вывод формул преобразования Лоренца

Воспользуйтесь следующим новым методом (принадлежащим Эйнштейну) для вывода формул преобразования Лоренца. Пусть ракета равномерно движется со скоростью _r в направлении оси x в лабораторной системе отсчёта. Координаты x', y', z', t' произвольного события (например, взрыва) в системе отсчёта ракеты взаимно однозначно связаны с координатами x, y, z, t этого же события, измеренными в лабораторной системе. При этом y=y' и z=z' (расстояния в направлениях, перпендикулярных движению, совпадают в обеих системах). Что же касается связи между x, t и x', t' то предположим существование линейной зависимости

x

=

ax'

+

bt'

,

t

=

ex'

+

ft'

.

Здесь четвёрка коэффициентов a, b, e и f 1) неизвестна, 2) не зависит ни от x, t, ни от x', t' 3) зависит лишь от относительной скорости _r движения этих двух систем отсчёта.

Найдите отношения b/a, e/a, f/a как функции скорости _r, исходя лишь из следующих трёх предположений: 1) световая вспышка, происшедшая в x=0, t=0 (x'=0, t'=0) распространяется вправо со скоростью света в обеих системах отсчёта (x=t, x'=t') 2) световая вспышка, происшедшая в x=0, t=0 (x'=0, t'=0), распространяется влево со скоростью света в обеих системах отсчёта (x=-t, x'=-t') 3) точка x'=0 обладает в лабораторной системе отсчёта скоростью _r.

Теперь используйте четвёртое предположение — инвариантность интервала (разд. 5): 4) t^2-x^2=(t')^2-(x')^2 и найдите с его помощью величину постоянной a, а тем самым значения всех 4 коэффициентов a, b, e и f. Согласуются ли полученные таким путём результаты с лоренцевыми значениями коэффициентов преобразования?

17*. Собственная длина и собственное время

а) Пусть два события P и Q разделены пространственноподобным интервалом. Покажите, что можно найти такую систему отсчёта ракеты, в которой оба события произошли одновременно. Покажите также, что в этой системе отсчёта ракеты расстояние между данными событиями равно собственному расстоянию а между ними. (Один из путей: предположим, что такая система отсчёта действительно существует, а затем с помощью формул преобразования Лоренца покажем, что относительная скорость этой системы меньше скорости света (_r1), что и оправдывает сделанное предположение).

б) Пусть два события P и R разделены временноподобным интервалом. Покажите, что можно найти такую систему отсчёта ракеты, в которой оба события произошли в одном и том же месте. Покажите также, что в этой системе отсчёта ракеты промежуток времени между данными событиями равен промежутку собственного времени между ними.

18*. Плоскость обоюдного согласия

В каждый момент имеется лишь одна плоскость, на которой показания часов лаборатории и ракеты совпадают. Покажите, что скорость движения этой плоскости в лабораторной системе отсчёта равна th (_r/2), где _r — параметр относительной скорости лабораторной системы отсчёта и системы ракеты.

19*. Преобразование углов

Метровый стержень покоится в системе отсчёта ракеты под углом ' с осью x. Под каким углом ориентирован тот же метровый стержень к оси x лабораторной системы отсчёта? Чему равна длина этого стержня, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта? Предположим теперь, что направления электрических силовых линий вокруг точечного заряда преобразуются так же, как направление метрового стержня, направленного вдоль той же линии. Качественно изобразите электрические силовые линии изолированного точечного положительного заряда, покоящегося в системе отсчёта ракеты, если их рассматривать: а) в системе отсчёта ракеты и б) в лабораторной системе отсчёта. Какие отсюда можно получить выводы о силах, действующих в лабораторной системе отсчёта на покоящиеся в этой системе пробные заряды, окружающие наш движущийся заряд?

20*. Преобразование скорости вдоль оси y

Пусть частица движется с постоянной скоростью ^y'=y'/t' в направлении оси y' в системе отсчёта ракеты. Преобразуйте компоненты её смещения y и t пользуясь формулами преобразования Лоренца. Покажите, что x- и y- компоненты скорости этой частицы выражаются в лабораторной системе отсчёта как

^x

=

th

_r

,

^y

=

^y'

ch _r

.

(49)

21**. Преобразование направлений скоростей

Пусть частица движется со скоростью ' в плоскости x'y' в системе отсчёта ракеты, и направление её движения образует угол ' с осью x'. Найти угол, который образует направление скорости этой частицы с осью x в лабораторной системе отсчёта. (Совет: преобразовать не скорости, а смещения). Почему получаемый угол будет иным, чем найденный в упражнении 19? Сравните эти результаты в предположении, что скорость ракеты относительно лабораторной системы отсчёта весьма велика.