Физика пространства - времени

б) Какую скорость разовьёт космический корабль за данный промежуток времени? Но мы сразу же подвергнем этот вопрос критике и перефразируем его. Дело в том, что скорость — недостаточно простая для исследования величина. Простым является параметр скорости , и его простота состоит в аддитивности. Смысл же аддитивности в том, что, если параметр скорости космического корабля на рис. 76 относительно воображаемой мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта меняется от 0 до d за время d по часам астронавта, то параметр скорости этого корабля по отношению к лабораторной системе отсчёта за тот же промежуток времени по часам астронавта изменится от своего первоначального значения до значения +d. Свяжем теперь величину d с ускорением g* в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта. В этой системе

g*

d

=

d

th d

d

,

так что

d

=

g*

d

.

(64)

По прошествии каждого интервала времени d по часам астронавта происходит соответствующее увеличение параметра скорости космического корабля на d=g*d. Полная величина параметра скорости космического корабля в лабораторной системе отсчёта просто-напросто равна сумме всех этих последовательных увеличений параметра скорости. Пусть вначале космический корабль покоился. Тогда его параметр скорости линейно возрастал пропорционально величине истёкшего времени по часам астронавта согласно уравнению

=

g*

.

(65)

Так определяется параметр скорости космического корабля в лабораторной системе отсчёта в любой момент времени x в системе отсчёта астронавта.

в) Какое расстояние в лабораторной системе отсчёта

x покрывает космический корабль за данный промежуток времени в системе отсчёта астронавта? В каждый момент скорость космического корабля в лабораторной системе отсчёта связана с его параметром скорости уравнением dx/dt=th , так что расстояние dx, пройденное за лабораторное время dt равно

dx=th dt.

Вспомним, что соответствующие промежутки времени по часам астронавта dx представляются как более длинные промежутки dt в лабораторной системе отсчёта (замедление хода времени), и между ними существует связь

dt=ch d.

Отсюда расстояние в лабораторной системе отсчёта dx, пройденное за время d по часам астронавта, равно

dx

=

th

ch

d

=

sh

d

.

Подставляя сюда выражение =g* из пункта (б), найдём

dx

=

sh(g*)

d

.

Просуммируем (проинтегрируем) все эти малые перемещения dx, начиная с момента «нуль» во времени астронавта и до конечного момента по этому времени; мы получим

x

=

1

g*

[ch(g*)-1]

.

(66)

Так выражается расстояние x в лабораторной системе отсчёта, покрытое космическим кораблём за любое данное время в системе отсчёта астронавта.

г) Переведём g* (в м/м

^2) в g=g*c^2 (в м/сек^2) и (в м) в _сек=/c (в сек) в формуле (66). Выясним, был ли прав инженер, заключив в своём отчёте о возможности полёта, упомянутого в начале этого упражнения (1 год 31,6·10 сек).

52*. Наклонный стержень

Рис. 77а. Метровый стержень движется перпендикулярно самому себе (наблюдение в лабораторной системе отсчёта).

Рис. 77б. Движение метрового стержня, наблюдаемое в системе отсчёта ракеты.

Метровый стержень, параллельный оси x, движется в положительном направлении оси y в лабораторной системе отсчёта со скоростью ^y. В системе отсчёта ракеты этот стержень несколько наклонён вверх в положительном направлении оси x'. Объясните, почему это так, причём сначала не пользуясь уравнениями. Пусть центр метрового стержня проходит через точку x=y=x'=y'=0 в момент t=t'=0, как это изображено на рис. 77а и 776. Вычислите затем величину угла ', образованного метровым стержнем и осью x' в системе отсчёта ракеты. Обсуждение. Где и когда пересекает правый конец метрового стержня ось x с точки зрения лабораторной системы отсчёта? Где и когда пересекает правый конец метрового стержня эту ось с точки зрения системы отсчёта ракеты? Экспериментально наблюдаемая томасовская прецессия электрона в атоме (см. упражнение 103) может быть объяснена тем же самым путём, что и явление наклона метрового стержня.

53*. Парадокс метрового стержня ¹)

¹) См. R. Shaw, American Journal of Physics, 30, 72 (1962).

Замечание. До того как приступать к упражнению 53, следует разобраться в упражнении 52.