Физика пространства - времени

Мы стремимся узнать всё, что только можно, об импульсе частицы (скорость которой может быть очень близка к скорости света), исходя из данных ньютоновской физики об импульсе частицы с очень малой скоростью. Для этих целей анализ скользящего соударения подходит идеально. Мы можем подобрать такое столкновение, при котором частица-мишень обладает сколь угодно малой скоростью не только до соударения, но и после него (частица B на рис. 84). Тогда импульс частицы-мишени может быть получен по ньютоновской формуле p=m как до, так и после соударения. Исходя из этого, легко определить изменение импульса медленной частицы (B) в процессе соударения, что позволит нам найти изменение импульса и даже самый импульс быстрой частицы (A). Исходя из симметрии схемы столкновения, очевидно, что приобретённый частицей B импульс вдвое превышает величину её импульса до соударения, так что

1

2

·

Изменение

импульса B

=

m

dy

dt

.

Импульс пропорционален величине перемещения частицы за единицу собственного времени

Частица A передаёт часть импульса частице B, но не за счёт изменения абсолютной величины своего импульса, а за счёт изменения направления своего вектора импульса. Иными словами, переданный импульс составляет меньшую и известную нам сторону треугольника импульсов. Другие две (равные друг другу) стороны этого треугольника являются б'oльшими и неизвестны нам. Однако мы знаем, чему равны как длинные, так и короткая стороны подобного треугольника — треугольника перемещений. Из пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников мы сразу же получаем (см. рис. 85) выражение для импульса быстро движущейся частицы A:

p=m

dr

d

=m

Перемещение за единицу

собственного времени

.

(70)

Компоненты этого вектора по отдельности ¹) равны:

p

^x

=

m

dx

d

,

p

^y

=

m

dy

d

,

p

^z

=

m

dz

d

(71)

в лабораторной системе отсчёта.

¹) Почему не p_x а p^x? В четырёхмерной геометрии пространства-времени в отличие от эвклидовой геометрии пространства существенно расположение индекса (см. подробности относительно стандартных обозначений в примечании на стр. 157).

В системе отсчёта ракеты компоненты импульса даются выражениями, аналогичными формулам (71) с той лишь разницей, что в них фигурируют dx', dy' и dz' — компоненты перемещения, измеренные в системе отсчёта ракеты. Интервал собственного времени d' между двумя близкими событиями на мировой линии частицы обладает одним и тем же значением при вычислении исходя из данных, полученных на ракете, и при вычислении на основании лабораторных измерений («инвариантность интервала»). Поэтому излишне различать d и d'. Кроме того, величина dy' (в системе отсчёта ракеты) равна величине dy (в лабораторной системе отсчёта), а также dz=dz' Следовательно, компоненты импульса

p

^y

=

m

dy

d

и

p

^z

=

m

dz

d

,

перпендикулярные к направлению движения ракеты относительно лабораторной системы отсчёта, не зависят от скорости этого движения.

Импульс аналогичен перемещению в том отношении, что поперечные компоненты этих обоих векторов не зависят от скорости движения наблюдателя. Такая аналогия этих двух векторов имеет очень простую причину: импульс получается из перемещения (x, y, z) путём умножения на величину m/, одинаковую во всех инерциальных системах отсчёта!

Массу наиболее целесообразно определять как не зависящий от скорости коэффициент в выражении для импульса

Из исследования импульса, проделанного на рис. 85, ясно, что величина m — это масса в том смысле, в каком её понимают в ньютоновской механике. Поэтому m есть величина постоянная, одинаковая для всех скоростей, всех положений и всех моментов времени. Всё различие между релятивистской формулой для импульса (например, m·dx/d) и соответствующей ньютоновской формулой (m·dx/dt) сводится поэтому к различию между собственным и лабораторным временем, а не к различию в m при этих двух описаниях природы. В некоторых прежних изложениях теории относительности ньютоновское выражение для импульса (m·dx/dt) исправлялось не путём простой замены dt на d, принятой сейчас, а путём введения «массы движения», зависящей от скорости таким образом, чтобы можно было продолжать пользоваться формулами типа Ньютона, например:

p

^x

релятивистская

величина

=

m

_{движения}

·

dx

d

.

Эта масса движения должна тогда быть равна

m

_{движения}

=

m

dt

d

=

m

1-^2

.

(72)

Такое обозначение ещё можно иногда встретить. Однако в физических рассуждениях полезнее всего использовать величины, одинаковые во всех системах отсчёта, такие, как m и d. Этот факт сейчас получает всё более широкое признание. Поэтому мы будем обычно понимать под термином «масса» не зависящую от скорости величину m.