Физика пространства - времени

г) Проградуируйте оси координат системы отсчёта ракеты! Проведите гиперболу 𝑡²-𝑥²=1 (рис. 66). В той точке, где эта гипербола пересекает ось 𝑡 лабораторной системы отсчёта (где 𝑥=0), мы имеем момент времени 𝑡=1. Однако интервал 𝑡²-𝑥² инвариантен, так что при этом мы получим также (𝑡')²-(𝑥')²=1 Следовательно, в точке пересечения гиперболой оси 𝑡' системы отсчёта ракеты (где 𝑥'=0) мы имеем момент времени 𝑡'=1. Из соображений симметрии и ввиду линейности уравнений преобразования отрезок оси 𝑡' от точки 𝑡'=0 до точки 𝑡'=1 можно использовать в качестве единицы масштаба, откладываемого как вдоль оси 𝑡', так и вдоль оси 𝑥'. Тем самым схема построения завершена. Реализуйте её!

д) Покажите, что если два события одновременны в лабораторной системе отсчёта, они будут лежать на прямой, параллельной оси 𝑥 лабораторной системы на диаграмме пространства-времени (рис. 67). Покажите, что, если два события одновременны в системе отсчёта ракеты, они будут лежать на прямой, параллельной оси 𝑥 системы ракеты на диаграмме пространства-времени. Поэтому два наблюдателя не обязательно считают одновременными одни и те же пары событий. Это и есть относительная синхронизация часов.

Рис. 67. Эффект замедления хода времени.

е) Используя линии одновременности на рис. 67, покажите, что для наблюдателя в системе отсчёта ракеты часы, расположенные в начале лабораторной системы пространственных координат, ещё не показывают 1 м времени, когда 𝑡'=1 м

(т.е. лабораторные часы отстают). Вместе с тем для наблюдателя в лабораторной системе отсчёта часы, расположенные в начале лабораторной системы пространственных координат, уже показывают больше 1 м времени (т.е. отстают часы на ракете). Это и есть замедление хода времени.

Рис. 68. Метровый стержень, покоящийся в лабораторной системе отсчёта, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из системы отсчёта ракеты.

ж) Пусть метровый стержень покоится в лабораторной системе отсчёта, причём одним концом упирается в начало её пространственных координат (рис. 68). Если измерять его длину в лабораторной системе отсчёта, то мы получим результат типа 𝑎𝑏 на рис. 68. Измеряя его длину в системе отсчёта ракеты (т.е. регистрируя положения его концов «в один и тот же момент времени»), мы получим результат типа 𝑑𝑒 на том же рисунке. Покажите, что эти результаты измерений дают наблюдаемый эффект

лоренцева сокращения в системе отсчёта ракеты. Переходя к рис. 69, покажите, что метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты и упирающийся одним концом в начало её пространственных координат, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из лабораторной системы отсчёта.

Рис. 69. Метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из лабораторной системы отсчёта.

з) Нарисуйте диаграммы пространства-времени, иллюстрирующие относительность одновременности, замедление хода времени и лоренцево сокращение длин для тех предельных случаев, когда скорость ракеты относительно лабораторной системы отсчёта очень мала или очень велика.

и) Вернёмся к рис. 22 (стр. 54), где на диаграмме пространства-времени описано движение частиц и световых вспышек в двух измерениях. Покажите, что «плоскость одновременности» системы отсчёта ракеты наклонена относительно «плоскости одновременности» лабораторной системы отсчёта. Разберитесь, какую роль играет этот наклон для факта относительности одновременности событий, происходящих в разных точках оси 𝑥 диаграммы пространства-времени лабораторной системы отсчёта и для факта относительности одновременности событий, происходящих в разных точках оси 𝑦 диаграммы пространства-времени лабораторной системы.

к) Рассмотрите системы отсчёта ракеты, движущейся в отрицательном направлении оси 𝑥 лабораторной системы отсчёта. Проверьте выводы из диаграммы на рис. 70, в частности обратный знак

для эффекта относительной синхронизации часов, но один и тот же характер эффекта замедления хода времени (по сравнению со случаем ракеты, движущейся в положительном направлении оси 𝑥).

Рис. 70. Положение пространственной и временной осей системы отсчёта ракеты, движущейся в отрицательном направлении оси 𝑥 лабораторной системы отсчёта. ▼

49. Парадокс часов. II — подробный пример ¹)

¹) Е. Lowry, American Journal of Physics, 31, 59 (1963).