Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Мы уже видели это. Предположим, что точки – это население Южной Дакоты (а там его как раз около миллиона) и что две точки соединены, если люди контактируют и дышат друг на друга. Это не идеальная модель для распространения инфекции (поскольку не учитывает, что разные люди заразны в разное время), однако вполне приемлемая для консультационной деятельности. Среднее число людей, которых заражает инфицированный человек, равно R; это число срывает свою маску, и оказывается, что оно все время было числом R₀. Меньше 1? Болезнь будет локализована в каком-то небольшом фрагменте сети. Больше 1? Она распространится практически повсюду.

Кроме того, Эрдёш знаменит идеей Книги: он любил говорить, что у Бога есть Книга, в которой содержатся самые сжатые, элегантные и наглядные доказательства теорем. Вам не нужно верить в Бога, чтобы верить в Книгу; сам Эрдёш, хотя и вырос в еврейской семье, был далек от религии. Побывав в католическом Университете Нотр-Дам[515], он заметил, что кампус очарователен, но в нем слишком много знаков плюс (то есть крестов)

[516]. И тем не менее он пришел практически к тем же взглядам на математическую реальность, что и набожная Хильда Хадсон; она ведь тоже считала, что поистине хорошее доказательство – это случай проявления прямой связи с божественным. Пуанкаре, который не был верующим, но и не насмехался над верой, относился к подобным откровениям более скептически. Он писал, что если бы какое-то трансцендентное существо знало истинную природу вещей, то оно «не смогло бы найти слов[517], чтобы выразить ее; мы не только не можем предвидеть ответ, но, даже если бы он нам был дан, мы бы все равно ничего не поняли».

ГРАФЫ И КНИЖНЫЕ ЧЕРВИ

Игру Эрдёша на киноактеров переключила в 1990-е годы одна группа скучающих студентов колледжа, которые заметили, что актер Кевин Бейкон, похоже, снимался в фильмах со всеми[518]: он был Эрдёшем для Голливуда 1980-х и 1990-х годов. Поэтому для любого киноактера вы можете определить число Бейкона – это расстояние до Кевина Бейкона в геометрии совместных съемок. Как почти у всех математиков есть число Эрдёша, так почти у всех актеров есть число Бейкона[519]

. Мое число Бейкона равно 2, поскольку я снимался с Октавией Спенсер в фильме «Одаренная», а она сыграла в 2005 году роль клиентки в фильме «Салон красоты» с певицей Куин Латифой, где Бейкон играл Джорджа. Поэтому мое число Эрдёша – Бейкона: 3 + 2 = 5. Клуб людей с определенным числом Эрдёша – Бейкона довольно мал. Даника Маккеллар, которая подростком играла в телесериале «Чудесные годы» и, по мнению всех моих друзей, учивших ее в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, сделала бы блестящую карьеру в математике, если бы не предпочла актерскую профессию, имеет число Эрдёша – Бейкона, равное 6. Николас Метрополис[520] разработал и дал свое имя одному из важнейших алгоритмов при случайных блужданиях, который помог реализовать мечту Больцмана о понимании свойств газов, жидкостей и твердых тел путем последовательного анализа движения молекул и их бильярдных столкновений. Однако для нас сейчас важнее, что он сыграл эпизодическую роль в фильме Вуди Аллена «Мужья и жены» и тем самым обошел меня с числом Эрдёша – Бейкона: у него оно 2 + 2 = 4[521].

Математики обычно не называют такие сети сетями; мы называем их графами, и они не имеют ничего общего с графиками функций, которые вы, возможно, рисовали в школе. Мы виним в этом химиков. Предельные углеводороды (парафины или алканы) – это вещества, молекулы которых состоят только из атомов углерода и водорода. Самый простой из них – один атом углерода и четыре атома водорода – это метан (газ «коровья отрыжка вызывает глобальное потепление»). Слово «парафин» может напомнить вам о парафиновом воске, различные молекулы которого содержат уже десятки атомов углерода. Химики XIX века определяли, сколько углерода и водорода содержится в каждом соединении, проводя «элементный анализ» (это причудливый способ сказать «подожгите и посмотрите, сколько выделится двуокиси углерода, а сколько воды»). Однако вскоре они начали понимать, что существуют молекулы с одинаковыми формулами, но при этом с разными свойствами. Они пришли к мысли, что дело не только в количестве атомов. Молекулы обладают геометрией. Одни и те же атомы могут располагаться по-разному.

Бутан – вещество, сгорающее в зажигалке Zippo, – имеет формулу C₄H

₁₀: четыре атома углерода, десять атомов водорода. Эти атомы углерода можно расположить в цепочку:

а можно в виде буквы Y, что дает молекулу под названием изобутан.

Чем больше у нас атомов углерода, тем больше разных геометрий можно построить. Октан, как следует из его названия, содержит восемь атомов углерода: его формула C₈H₁₈. В стандартной форме все они выстроены в одну линию. Однако октан, входящий в состав вашего бензина и обеспечивающий плавную езду, выглядит так: