Гильберт. Основания математики

В 1900 году шведский математик Ивар Фредгольм (1866- 1927) позаимствовал внешне безобидное замечание итальянского математика Вито Вольтерры (1860-1940) и предложил новый способ решения проблемы Дирихле с использованием интегральных уравнений. Изучив уравнения потенциала, или уравнения Лапласа с граничными условиями, Фредгольм трансформировал проблему в интегральное уравнение, как приведенное выше, и воспользовался схожестью этого интегрального уравнения и системы бесконечных линейных уравнений, когда интеграл заменяется суммами Римана. Интеграл — это процесс вычисления площади, ограниченной кривой. Сумма Римана — по сути, всего лишь равносильный способ вычисления значения интеграла: проводится конечное число прямоугольников внутри площади, ограниченной кривой, и эта площадь приближается к сумме площадей каждого из этих прямоугольников (см. рисунок). Когда число прямоугольников стремится к бесконечности, суммы Римана сходятся в точном значении интеграла. В этой технике интегральное уравнение разрастается в систему бесконечных линейных уравнений. Следовательно, решить отправное интегральное уравнение — значит решить всю систему бесконечных линейных уравнений.

Сумма Римана — это сумма площадей прямоугольников на рисунке, которая служит для приближения к площади, ограниченной кривой, то есть к интегралу функции ƒ(x) от a до b.

Сенсационные результаты Фредгольма распространились со скоростью звука. Зимой 1900-1901 года гостивший в Гёттингене преподаватель провел аналогию между интегральными уравнениями и системами линейных уравнений на семинаре Гильберта, и тот живо заинтересовался данной темой и направил на нее всю свою производительность (в пылу он даже предсказал, что новый инструмент позволит в итоге доказать гипотезу Римана). Шесть работ на эту тему, опубликованные им между 1904 и 1910 годами, содержали зачатки нового ответвления анализа (функциональный анализ) и привели к понятию гильбертова пространства, основанию всей квантовой механики.

И СВЕРШИЛСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ!

Функциональный анализ изучает функции в совокупности, то есть пространства функций. Наиболее явные его истоки находятся в интегральных уравнениях, которые определяют алгебраизацию анализа (типичный подход функционального анализа), но также присутствуют в вариационном исчислении, где впервые появляются идеи множества функций, допустимых для решения проблемы и расстояния между функциями (через функционал). Математический аппарат, утвердившийся с функциональным анализом, в конце 1920-х годов обратился в столп целой физической дисциплины — квантовой механики. Благодаря этому ключевому факту его мощные формулировки, связанные с распространением квантовых выкладок, постоянно обновлялись.

Функциональный анализ обобщает геометрические понятия w-мерного пространства (расстояние, теорема Пифагора и другие) до функциональных пространств бесконечной размерности. Среди этих пространств бесконечной размерности выделяется так называемое гильбертово пространство, построенное в области интегральных уравнений самим Гильбертом, но аксиоматизированное в связи с квантовой механикой его талантливым учеником Джоном фон Нейманом, который назвал пространство именем своего учителя около 1930 года.

Гильбертово пространство в зачаточном виде появляется в статье 1906 года (четвертой из шести статей об интегральных уравнениях и первой настоящей статье о функциональном анализе). Можно сказать, что гильбертово пространство образуют функции, являющиеся решением интегральных уравнений. Когда Гильберт изучал интегральное уравнение, ему в голову пришла идея рассмотреть особую систему функций, которая выполняла бы некоторые свойства (для тригонометрической системы — быть базисом функционального пространства) и свести решение уравнения к определению коэффициентов неизвестной функции относительно этой системы (точнее, координат неизвестной функции относительно этого базиса пространства). Рассматривая тригонометрическую систему, он старался найти неизвестную функцию, представив ее с помощью коэффициентов Фурье (бесконечной последовательности чисел, позволяющих выражать функцию интегрируемого квадрата в виде суммы тригонометрических функций, умноженных на эти числа). Коэффициенты, как он заметил, удовлетворяли условию конечности суммы их квадратов. После подстановки этих отождествлений (или разработок) в интегральное уравнение проблема преобразилась в проблему решения бесконечного числа линейных уравнений с бесконечными неизвестными (коэффициентами функций из суммируемого квадрата). Продолжая данный пример, если в уравнении

         _b

x(t) + ∫K(t,s)x(s)ds = ƒ(t),

         ^a

представить функции x(t), ƒ(t) и K(t, s) их коэффициентами Фурье, то это уравнение записывается как бесконечная система уравнений:

         _∞

xp + ∑kpqxq = ƒp                       p = 1, 2, 3...

        ^g=1

при условии, что сумма различных коэффициентов в квадрате конечна, то есть

_∞