Гильберт. Основания математики

Пятая аксиома получила название принципа индукции и является основополагающей для доказательства теоремы о натуральных числах без необходимости проверять каждое из них по одному. Принцип формализует интуитивное представление о том, что когда все фишки домино выстроены в одну линию, падение первой из них (нуля) предполагает падение всех остальных (всех натуральных чисел). На основе этих аксиом можно определить сложение и умножение натуральных чисел, а также расположить их в упорядоченном виде. Результат известен как арифметика Пеано.

Джузеппе Пеано, около 1910 года.

К несчастью, смелая программа Фреге была поставлена под сомнение из-за обилия логических парадоксов. В своих работах Фреге всегда исходил из принципа выделения, согласно которому каждому понятию можно назначить его расширение, то есть любое свойство определяет класс элементов, которые удовлетворяют этому свойству. Аксиома существования классов была «Базовым Законом V» «Основных законов арифметики», и именно ею объясняется широкое распространение логицизма Фреге. В письме от 16 июня 1902 года молодой математик Бертран Рассел (1872-1970) проинформировал преподавателя Фреге о том, что в рамках его системы на основе этого несчастного закона может быть выведено противоречие. Парадокс Рассела показывал, что назначение каждому свойству связанного с ним класса было делом рискованным. Узнав об этом противоречии, Фреге добавил приложение ко второму тому «Основных законов арифметики», в котором попытался спасти свой огромный труд, ограничив применение принципа выделения. Вскоре он понял, что от этого мало проку, и остановил публикацию третьего тома своей главной работы. Он так и не оправился от удара. Погрузившись в меланхолию, без всякой надежды, но и без страха он признавал катастрофу:

«Нет для ученого ничего ужаснее, чем выяснить, что все основание его работы рушится, именно в тот момент, когда он эту работу заканчивает. Меня в эту ситуацию поставило письмо господина Рассела, моя работа была почти готова к печати».

Продемонстрировав интеллектуальную целостность, которой Рассел восхищался всю жизнь, Фреге ответил последнему, что арифметика, а с ней и вся математика вновь пошатнулись. Здравого смысла не было достаточно для поддержания безопасности математики перед лицом угроз, исходящих от логики.

ОБИЛИЕ ПАРАДОКСОВ

До весны 1901 года, когда Рассел обнаружил свой парадокс, согласно Фреге, считалось, что каждому свойству соответствует один класс, который образован сущностями, обладающими этим свойством. Рассел изучал поведение собственных классов, то есть тех, которые являются членами самих себя. Например, класс всех классов (который, являясь другим классом, принадлежит сам себе) или класс всех понятий (являясь другим понятием, также принадлежит сам себе). Логические огрехи неизбежны: если в библиотеке поместить имеющий черную обложку каталог всех книг в библиотеке, у которых имеется черная обложка, этот каталог каталогизирует сам себя.