Гильберт. Основания математики

Одно из них — это континуум. И если целые и рациональные числа счетные, то действительные числа такими не являются. Нельзя связать их попарно с натуральными числами, их нельзя пронумеровать, поставить в список одно за другим. Возьмем числовую прямую и рассмотрим отрезок от 0 до 1. Выразим все входящие в этот отрезок числа в двоичном коде, то есть с помощью последовательностей 0 и 1. Например: 101001000... (опустив 0 и запятую, отделяющую десятичную дробь, которые должны предшествовать выражению). Докажем, что предположение о том, что это счетное множество, приводит к противоречию. Действительно, если бы это было так, мы могли бы записать все его элементы в списке, подобном следующему:

1.° → 0100...

2.° → 0110...

3.° → 1101...

...       ...

Теперь обратим внимание на элементы главной диагонали, они подчеркнуты. Построим элемент, который несмотря на то, что является последовательностью 0 и 1, не входит в список. Для этого образуем последовательность, состоящую из следующих чисел: так как первый выделенный член был 0, запишем 1; так как второй был 1, запишем 0; так как третий был 0, запишем 1; и так далее. Итоговый элемент начинается с 101... и не совпадает ни с одним из элементов в списке. Это не может быть первая последовательность, поскольку первый член отличается, не вторая, потому что мы изменили второй член, и не третья, и так далее. Это противоречит предположению, что речь идет о счетном множестве, которое, следовательно, может быть выражено в виде списка. Использованный метод доказательства получил название диагонализации и повлиял на последующие значимые доказательства в истории оснований математики.

Георг Кантор.

Между тем Дедекинд дал более удачное определение бесконечному множеству, чем Кантор. По прошествии времени оба определения, избавленные от ошибок, оказались равносильными (в соответствии с аксиомой выбора, о которой речь пойдет позже). Для Кантора множество бесконечно, если оно не конечно, то есть если нельзя провести биекцию с каким- нибудь натуральным числом. Для Дедекинда, наоборот, под влиянием предположений Галилея и Больцано, множество бесконечно только тогда, когда можно провести биекцию с его собственной частью. Например, натуральные числа бесконечны, потому что можно провести биекцию с четными числами, при этом 0 соответствует 0; 1 - 2; 2 - 4; и в целом каждому числу n — вдвое большее число 2n.

Его теория представляется мне наиболее заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека. [...] Никто не изгонит нас из рая, который создал нам Кантор.

Давид Гильберт о Георге Канторе, «О бесконечном» (1925)