Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор

Как в СТО, так и в общей теории относительности (мы увидим это позднее) ключевым понятием является метрическое пространство. Под этим понимается некое множество точек, переход между которыми осуществляется непрерывным образом и определено понятие расстояния между ними. Вспомним обычное пространство Евклида. Квадрат расстояния r между началом координат и точкой с декартовыми координатами х, у, z определяется по правилу: r² = х²+ у²+ z². Эта величина всегда положительная, за исключением случая, когда длина равна нулю.

Пространство Минковского тоже метрическое. Однако в нем расстояние между двумя точками называется интервалом

и определяется непривычным образом. Квадрат интервала s между началом координат и какой‑либо точкой 4–мерного пространства–времени (рис. 5.2) определяется по правилу:

s² = c²t² — х² — у² — z² = c²

t² — r².

Временную координату ct и пространственные координаты Декарта х, у, и z, представляющие единую координатную сетку в пространстве Минковского, обычно называют координатами Лоренца. Как видно, временная и пространственные части в определении интервала входят с разными знаками. Из‑за этого квадрат интервала может быть положительным, нулевым и даже отрицательным. Пространства, в которых расстояния определяются таким образом, называются псевдоевклидовыми.

Итак, пространство Минковского — это псевдоевклидово метрическое пространство, объединяющее время (длительность) и пространство (протяжённость, 3–мерное пространство Евклида).

Точки в пространстве Минковского называют событиями или мировыми точками.

Таким образом, каждой мировой точке соответствует момент времени и точка в 3–мерном пространстве. А интервал — это расстояние между двумя мировыми точками или, в ряде интересных случаев, промежуток времени между двумя событиями.

Теперь попытаемся понять, как в рамках исходной системы отсчёта в пространстве Минковского выглядит другая инерциальная система отсчёта. Оси 0ct и 0x (см. рис. 5.2) в исходной системе образуют базис. Путь наблюдателя, связанного с исходной системой, направлен вдоль оси 0ct. Для него же ось 0x и параллельные ей линии — это сечения одновременности. Наблюдатель другой инерциальной системы движется прямолинейно и равномерно по отношению к первой. Тогда ясно, что его путь направлен вдоль наклонной прямой, например, 0A на рис. 5.2. Для движущегося наблюдателя сечения одновременности также наклонятся. Остаётся сделать вывод: чтобы перейти к базису движущейся инерциальной системы отсчёта нужно осуществить поворот исходного базиса. При этом угол поворота соответствует относительной скорости между системами. Вспомним, что две системы отсчёта связаны преобразованиями Лоренца. Именно поэтому такие повороты базиса называют лоренцевыми вращениями.

На рис. 5.3 на диаграмме пространства Минковского изображён базис неподвижной системы K с не штрихованными координатами, и базис движущейся в направлении оси 0x со скоростью V инерциальной системы отсчёта K’ с штрихованными координатами. Теперь выпишем преобразования Лоренца от одних координат к другим:

Преобразования дают возможность заключить, что обе системы отсчёта эквивалентны. Действительно, если выразить штрихованные координаты через не штрихованные, то получим те же самые преобразования:

с заменой знака «плюс» перед V на «минус» — по отношению к штрихованной системе не штрихов энная движется в противоположном направлении.

Одно из достоинств геометрической интерпретации пространства Минковского состоит в том, что лоренц-инвариантность выражается в инвариантности относительно лоренцевых вращений. В частности, значение интервала, записанного выше, не изменяется после поворота базиса, хотя теперь выражается через новые (штрихованные) координаты нового базиса. Чтобы убедиться в этом нужно лоренцевы преобразования (А) подставить в выражение для квадрата интервала, записанного выше. В результате получим:

то есть s = s'.

В инвариантности интервала нет ничего удивительного — это лишь геометрическое свойство пространства Минковского, а не следствие каких‑то принципов. Действительно, поскольку интервал — это длина в метрическом пространстве, то эта величина не зависит от способов измерения (использования той или иной координатной сетки). Замечательно другое — известные геометрические свойства псевдоевклидовых пространств оказались весьма полезными для описания СТО.

Эффекты сокращения длины, замедления времени, сложение скоростей в СТО являются следствием лоренц-инвариантности. Остановимся на первых двух. Рассмотрим линейку, собственная длина которой l₀ — это длина в её системе покоя. Пусть система покоя для выбранной линейка — это система K' , которая движется относительно нас (системы К) со скоростью V. Тогда, если кон