Игра случая. Математика и мифология совпадения

Теперь выдвинем безумное предположение о том, что эти события не зависят друг от друга. Оно безумное, поскольку мы предполагаем, что каждый победитель каждого выигрышного тиража продолжает играть на большие суммы и использует ту же стратегию, что и раньше, чтобы повлиять на следующий выигрыш. Мы также предполагаем – только для того, чтобы можно было провести исследование, – что каждый игрок использует ту же стратегию, что и любой другой. Иными словами, мы усредняем стратегии по всем выигравшим джекпот. Иначе задача становится слишком сложной для анализа.

Пусть x – вероятность того, что некий человек постоянно играет в лотерею в течение пяти лет и дважды выигрывает[18]. Примем за p вероятность выиграть джекпот в одном тираже лотереи из таблицы 10.1. Сначала вычислим (1 – x) вероятность того, что выигравшие в первый раз не выиграют во второй раз в течение пяти лет. Пусть y = 1 – x. Среднее число выигрывающих джекпот на один разыгранный джекпот составляет 1,7, поэтому с каждым выигрышным тиражом число новых игроков, выигравших джекпот, увеличивается на 1,7. Это означает, что на первый из 2253 выигрышей придется 1,7 победителя. На второй из 2253 выигрышей будет 1,7 × 2 победителя… и на последний из 2253 выигрышей будет 1,7 × 2253 победителя. Иными словами, вероятность того, что первый победитель не выиграет во второй раз в ходе 2, 3,… и последнего из 2253 выигрышей, составляет (1 – p)^1,7, (1 – p)

^1,7×2, (1 – p)^1,7×3, … (1 – p)^1,7×2253 соответственно. Поскольку мы предполагаем, что каждый выигрыш не зависит от других, y – вероятность того, что ни один из выигравших один раз не выиграет во второй раз – это произведение (1 – p)^1,7 (1 – p)^1,7×2 (1 – p)^1,7×3

… (1 – p)^{(1,7×(2253 – 1))}.

Следовательно, y = (1 – p)^{1,7(1 + 2 + 3+… + 2253)} = (1 – p)^4312693 ≈ 0,85. Иными словами, x – то есть вероятность того, что кто-то выиграет джекпот дважды за пять лет, – примерно равен 0,15. Для периода в десять лет эта вероятность равна 0,48, и для 13 лет (время между первым и вторым выигрышем Джоан Гинтер) она составит 0,67.

Мы можем провести схожие вычисления для всего мира и периода в 1 год. В мире 166 лотерей. У многих лотерей вне США только 1 розыгрыш в неделю. Таким образом, общее число тиражей, составленное из еженедельных розыгрышей по всему миру, а также розыгрышей в США 2 раза в неделю за 2 года составит 9984. Число выигравших джекпот за 1 год (учитывая шкалу, согласно которой в США число розыгрышей на джекпот составляет в среднем 5 к 1 и отношение розыгрышей к джекпотам в остальном мире в 3 к 1) в силу вышесказанного – 2496. Используя тот же метод, мы вычисляем y = (1 – p)^{1,7×(1+2+…+2495)} = (1 –

p)^{5 293 392} ≈ 0,82. Следовательно, x = 0,18.

За 2 года вероятность того, что 1 человек выиграет дважды, составит 0,55, а за четыре года – 0,96 – число настолько близкое к 1, что шанс того, что кто-то выиграет джекпот дважды в течение четырех лет, – это практически достоверность.

Выигрыши Джоан Гинтер растянулись на период в 18 лет. При таком временно́м диапазоне вероятность того, что один человек выиграет джекпот 4 раза где-либо в мире, предельно близка к 1.

Раздел 4

Головоломки

Такие вот фразы

Иным историям законы – не указ,Нам кажется случайностью рассказ,В котором миллион противоречийУравновешен поворотами сюжета;

Попробуй удивленье выразить числом –Оно над математикой смеется,Как миллион безумных обезьян,По клавишам и день и ночь стучащих,Условных, а быть может, настоящих,Что неустанно будут опыт повторять,Сиксилиарды неудач переживать,Без замысла или намеренияСоздать произведениеТакое предложенье смогут написать.Дж. М. (пер. М. И.)