Информация или интуиция?

Только что сказанное представляет собой содержание так называемой теоремы Луивилля, лежащей в основе современной статистической физики. Если шар рано или поздно побывает в любой, сколь угодно малой, области, у нас нет никаких оснований выделить какую-либо область и считать ее преимущественной для пребывания данного шара. Заметим, что такая характеристика не совсем объективна, поскольку в ней идет речь об основаниях, имеющихся у нас. И тем не менее она целиком вытекает из предыдущих.Поскольку у нас нет никаких оснований предпочесть одну какую-либо область поверхности бильярдного стола другой, мы можем сделать и такое заключение: среднее количество времени, в течение которого данный шар пребывает в пределах данной области на поверхности бильярда, зависит только от размеров этой области. Это уже объективная характеристика, поскольку среднее количество времени можно измерить.Все три только что сформулированные характеристики по существу означают одно и то же. И причина того, что это именно так, одна — каждый из движущихся бильярдных шаров описывает достаточно сложную траекторию.Перед тем как перейти к дальнейшему, сделаем следующее замечание. При описании поведения бильярдных шаров нам несколько раз пришлось использовать слова «знаем», «не знаем». Это отступление может дать читателю некоторую идею относительно того, почему мы занялись изучением бильярда в книге, посвященной информации и интуиции.А теперь пойдем дальше. Закроем ровно половину (скажем, правую) бильярдного стола специально изготовленной крышкой. Крышка должна быть сделана так, чтобы она не оказывала никакого влияния на движение шаров, а лишь скрывала от наших глаз все, что происходит с шарами в пределах закрытой половины стола. Теперь нашему наблюдению доступна лишь левая половина бильярда. Введем понятие состояний. Будем считать, что бильярд находится в состоянии 0, если в пределах левой половины нет ни одного шара. Бильярд находится в состоянии 1, если в пределах левой половины находится один шар, в состоянии 2, если в пределах левой половины находится два шара, и т. д., в состоянии 16, если в пределах левой половины собрались все шестнадцать шаров.Заметим теперь, что состояния 0 и 16 могут быть реализованы единственным способом: когда все шары находятся справа или слева. Состояния 1 и 15 могут быть реализованы шестнадцатью различными способами: первый шар находится слева (справа), остальные в противоположной стороне, второй шар находится слева (справа), остальные… и т. д. Для подсчета числа способов, которыми могут быть реализованы состояния 2 и 14, будем рассуждать следующим образом. Имеется пятнадцать способов, в которых участвует шар номер 1, а именно: слева (справа) находятся шары с номерами 1 и 2, 1 и 3 и т. д., 1 и 16; четырнадцать способов, в которых участвует шар номер 2: это 2 и 3, 2 и 4 и т. д. … 2 и 1.6 (способ «2 и 1» уже был учтен в предыдущем случае); тринадцать способов с участием шара номер 3: это 3 и 4, 3 и 5, и т. д., всего 120 способов.Количество способов, которыми может быть реализовано каждое состояние, сведено в следующую таблицу, из которой мы видим, что наибольшим числом способов могут быть реализованы состояния 7, 8 и 9, то есть состояния, когда примерно половина шаров расположена на правой стороне бильярда, а другая половина — на левой.Состояния Кол-во способов, которыми могут быть реализованы данные состояния0 и 16 11 и 15 612 и 14 1203 и 13 5604 и 12 18205 и 11 43686 и 10 80087 и 9 114408 12870

Мы уже установили, что для каждого отдельного шара нет никаких оснований выделять преимущественную область его пребывания. С тем же успехом мы можем утверждать, что нет никаких оснований предпочесть одну какую-либо конфигурацию расположения шаров другой. А коли так, то точно так же, как мы это делали раньше, мы можем установить, что, какова бы ни была конфигурация расположения шаров, рано или поздно она реализуется, и что среднее количество времени, в течение которого на бильярдном столе имеет место данная конфигурация, одинаково для всех конфигураций.Каждый из рассмотренных выше способов представляет собой частный случай конфигурации. Следовательно, мы можем прийти к выводу, что среднее количество времени, в течение которого бильярдный стол находится в данном состоянии, пропорционально количеству способов, которыми реализуется данное состояние. Эти средние количества времени (в долях от полного времени наблюдений) сведены в таблицу. Из рассмотрения это? таблицы видно, что большую часть времени бильярдный стол проводит в состояниях 7, 8 и 9.