Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №1

Случай, когда λ₁ и λ₂ почти равны друг другу, и случай, когда они в точности равны, физически близки друг другу. Замечу, что этот случай важен в теории измерительных приборов. Часто требуется, чтобы измерительный прибор как можно быстрее приходил в положение равновесия. Оказывается, это требование выполняется как раз тогда, когда характеристическое уравнение имеет равные корни.»

В самом деле, физически ситуацию λ₁ и λ₂ от ситуации λ₁ ~= λ₂ мы отличить не можем из-за конечной точности измерения любых величин и, в частности, коэффициентов уравнения (1) (в какой-то момент δ станет неотличимым от w₀, не будучи равным ему в точности), в то время как решения (2) и (4) уравнения (1), отвечающие этим различным ситуациям, различаются весьма существенно. Перепишем решение (4) в виде, схожем с видом решения (2):

x(t) = e^-δt(A + Bt). (5)

Таким образом видно, что асимптотики решений (2) и (5) существенно различны: в первом случае затухающая экспонента, умноженная на осциллирующие (и, стало быть, ограниченные) синус и косинус, а во втором — такая же экспонента (δ уже неотличимо), умноженная на растущую линейную функцию, и никаких осцилляций. Получается как бы парадокс: физически неразличимые ситуации можно различить…

Разрешение этого «парадокса» на следующей странице.

Возникновение данного «парадокса» заключается в неправильном понимании того, что именно должно быть неразличимо при λ₁ ~= λ₂. На деле физическое требование неразличимости ситуаций

λ₁ ~= λ₂ и λ₁ = λ₂ заключается в том, что при δ —> w₀ переходить друг в друга должны не общие решения (2) и (5) уравнения (1), а решения физической задачи, каковой является задача Коши о колебаниях осциллятора с данными начальными условиями х₀ и х^∙₀. А последнее свойство как раз имеет место. Убедимся в этом.

При δ = w₀ решение задачи Коши имеет вид:

(6)

При δ —> w₀ общее решение должно переходить именно в него.

В общем случае δ /= w₀ решение задачи Коши имеет вид:

(7)

При δ —> w₀ частота осцилляций р —> 0, дробь > sin pt/p — > t, cos pt —> 1, и решение (7) переходит в (6). Видно, что хотя формально осцилляции (т. е. члены с синусом и косинусом) в решении (7) сохраняются всегда, но частота их (именно, р) становится столь малой, что на не слишком больших временах (много меньших, чем период колебаний τ = 2π/p >>1) они незаметны. Т. е. отличие δ от w₀о можно заметить лишь через очень большое время, и тем большее, чем меньше эта разность, что физически разумно.

Задача: "Возле жесткой стенки (но достаточно далеко) на горизонтальном полу лежит шар массы M, на перпендикуляре между этим шаром и стенкой лежит шар массы m (m < M). Большой шар начинает двигаться точно к стенке с какой-то скоростью. Малый шар начинает биться между стенкой и большим шаром (все соударения абсолютно жесткие и лобовые). Доказать что при M/m > оо, N/√(M/m) = —> π где N — число соударений малого шара с большим и стенкой."

Утверждается что при:

M/m = 1, N = 3 (всем ежам ясно);

M/m = 100, N = 31;

M/m = 10000, N = 314;

M/m = 1000000, N = 3141,

ну и т. д.

Решение.

Рассмотрим процесс упругого соударения двух шаров. Введем некоторые обозначения. Скорость большего шара обозначим через V₁ малого — через v₂. Эти скорости — алгебраические величины, т. е. они могут быть любого знака, смотря по тому, в какую сторону движется шар. Так, в начальный момент времени (до соударений) V₁

⁽⁰⁾ < 0, v₂⁽⁰⁾ = 0. Отношение масс шаров M/m обозначим через x.

Известно, что в системе центра масс (Ц.М.) системы двух шаров столкновение заключается в том, что шары меняют свои скорости на противоположные. Поэтому обозначая скорости шаров в системе Ц.М. до столкновения через, соответственно, V^~₁^- и v^~₂^-, после столкновения — соответственно, V^~₁⁺ и v^~₂⁺, а скорость самого Ц.М. — через v_c, получаем:

Т.е., подставляя (1) в (2), для скоростей шаров после соударения получаем:

После столкновения шаров легкий шар (второй) еще сталкивается со стенкой. При этом скорость тяжелого шара не меняется, а скорость легкого меняется на противоположную: v₂

⁺ |-> v₂⁺. Таким образом, если до k-го столкновения шары имели скорости, соответственно, V₁^(k) и, v₂^(k), то перед следующим, (л + 1) — м столкновением скорости их будут:

Перепишем эти соотношения в терминах параметра х = M/m:

Станем теперь в каждый момент времени характеризовать состояние системы вектором

 Получаем дин. систему:

с начальным состоянием

Значит, вообще

Обозначим матрицу  через Т и займемся ее спектральным анализом.

Собственные числа Т находятся из секулярного уравнения

Корни его суть λ± = х — 1 ± 2i√x, а собственные векторы, им отвечающие — суть векторы

Поэтому матрица Т диагонализуется в базисе {e^->±}, т. е.