Искатели необычайных автографов, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков

— Вторая находится по левую сторону оси игреков, где координаты х отрицательны. А так как отрицательное число, возведенное в квадрат, становится положительным, значит, игрек тоже будет у нас всегда числом положительным. Вот и выходит, что координаты игрек и справа и слева от вертикальной оси совершенно одинаковы. А раз так, значит, левая часть параболы симметрична правой. Дорисуем ее, если хотите, — и целая рогатка в вашем распоряжении. А теперь, когда с параболой покончено, тем же способом вычертим гиперболу, ху = 2.

Фило почесал в затылке. Сразу видно, что тут придется попотеть!

— Почему вы думаете? — осведомился Мате.

— Так ведь в первом уравнении икс и игрек были по разные стороны равенства, а тут в общей куче…

— Раз это вас смущает, отделим их друг от друга. Нетрудно выяснить, что у = 2/х. Заменим первое уравнение вторым — и дело с концом!

— Ага! — кивнул Фило. — Тогда начнем, как полагается, с х = 0…

— Стоп! Как известно, деление на нуль запрещено. Так что начнем с х=1. Тогда у = 2/1, или попросту двум…

— Значит, находим точку с координатами один — два, — подхватил Фило, орудуя карандашом.

— Дальше.

— Дальше нахожу точку при х = 2. Игрек при этом равен единице. При х = 3 игрек равен двум третям… Постойте, как же так? — Фило запнулся. — Выходит, чем больше икс, тем меньше игрек?

— Правильно подмечено! — одобрил Мате. — Чем больше икс, тем меньше игрек, и обратно: чем меньше будет становиться икс, стремясь к нулю, тем больше будет становиться игрек, стремясь к бесконечности. А теперь соединим, наконец, найденные нами точки одной линией — и гипербола готова.

— К тому же не наполовину, а целиком, — удовлетворенно констатировал Фило. — Точь-в-точь как та, что вы нарисовали в Исфахане.

— Должен вас огорчить. То, что я нарисовал в Исфахане, полной гиперболой не было, как не был полной конической поверхностью и тот бумажный фунтик, который мы с вами рассекали воображаемыми плоскостями. Потому что полная коническая поверхность состоит не из одного, а из двух одинаковых фунтиков, соприкасающихся вершинами. И, стало быть, в каждом из этих фунтиков образуется только одна ветвь гиперболы, в то время как полная гипербола состоит из двух ветвей.

— Значит, на нашем чертеже должна быть еще одна ветвь. Но где же она? — недоумевал Фило.

— Ее нетрудно получить, придавая иксам отрицательные значения. Только, в отличие от параболы, игрек при этом тоже будет принимать не положительные, а отрицательные значения.

— Так, так, так, — озабоченно пробормотал Фило. — Икс отрицательный. Значит, откладывать его следует по оси иксов влево. Но вот вопрос: на какой оси откладывать отрицательные игреки?

— Это уж пустяки. Положительные игреки расположены вверх по оси иксов, стало быть, отрицательные…

— Вниз! — сообразил Фило и принялся откладывать отрицательные координаты точек -1, -2; -2, -1; -3, -2/3 и, наконец, — 1/2, -4. — Теперь, — сказал он, полюбовавшись своей работой, — объединим все это хозяйство общей линией, и вторая ветвь гиперболы налицо. Ура, ура и в третий раз ура! Остается выяснить главное: для чего все это делалось?

— Для того, чтобы понять, каким образом Менехм решал задачу об удвоении куба, — пояснил Мате. — А решал он ее так: изображал обе кривые на одном чертеже, рассматривая при этом только ту часть координатной плоскости, на которой эти кривые пересекаются. Точка пересечения их — обозначим ее буквой А — удовлетворяет и первому и второму уравнениям, а следовательно, и уравнению х² = 2. Опустим из этой точки перпендикуляр на ось иксов, обозначив основание перпендикуляра буквой В, и искомая нами длина ребра удвоенного куба найдена: это отрезок OB

. Ему-то и равен х. Вот как конические сечения помогли Менехму решить одни из видов кубического уравнения. А Хайяму они помогли решить все нерассмотренные до него виды.

— Кажется, он насчитал их четырнадцать, — вспомнил Фило.

— Собственно говоря, в наше время все эти виды сводятся к одному. Да и способ решения изменился. Теперь кубические уравнения решаются по формуле итальянского математика XVI века Кардано.

Фило разочарованно нахохлился. Как же так? Выходит, Хайям трудился впустую? Мате задумчиво помешал ложечкой в стакане.

— В науке ничего не бывает впустую. Ни открытий, ни ошибок. Конечно, трудам Хайяма не суждено было оказать влияние на развитие европейской математики — эта честь досталась ал-Хорезми. Зато они оказали огромное влияние на математиков Востока. Идеи Хайяма были подхвачены и развиты другими, более поздними учеными. Кроме того, не следует забывать, что в некоторых вопросах Хайям произвел настоящую революцию. Достаточно вспомнить его календарную реформу. Или учение о числе… Надо вам знать, что Хайям был первым, кто признал иррациональные числа и, таким образом, открыто выступил против Аристотеля, который во всем остальном оставался для него непререкаемым авторитетом.

Фило недоверчиво поджал губы. Чудно! Неужели было время, когда иррациональных чисел не признавали?