Искатели необычайных автографов, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков

— Нет, мсье, мы как раз подошли к самому главному. А главное для нас с вами — отнюдь не устройство машины, а идея. Да, да, идея, которая подтолкнула мсье Паскаля к ее созданию. Он, если помните, руководствовался утверждением Декарта, полагавшего, что мозгу человеческому свойствен некий автоматизм и что многие умственные процессы, по сути дела, ничем не отличаются от механических. Иными словами, мозг столько же автомат, сколько живой орган. Долгие годы работы заставили Паскаля не только утвердиться в этой мысли, но и углубить ее. Он понял, что действия арифметической машины даже ближе к мыслительному процессу, нежели то, на что способен живой мозг…

— Что?! — взвивается Мате. — У Паскаля есть такая запись? Но ведь это же одно из тех положений, на которых основана кибернетика!

— В том-то и дело, мсье! И значит, у нас с вами есть все основания считать Паскаля ее отдаленным предшественником, что совершенно необходимо отметить еще одной чашкой чая.

Хозяин, улыбаясь, принимает у черта пустую чашку. Но что это? Рисунок на ней опять изменился! Теперь там изображены они сами — Фило, Мате и Асмодей в своем маркизовом обличье, восседающие на крыше руанской судебной палаты.

Улыбка медленно сползает с круглой физиономии Фило. Неужели его заставят копаться в теореме Дезарга? К счастью, эта неприятная для него операция переносится на другое время. Зато разговор о своей собственной теореме Мате откладывать не намерен. И многострадальный филолог покоряется своей участи.

— Итак, — говорит Мате, — напоминаю суть теоремы. Если на сторонах произвольного треугольника построить снаружи или внутри (значения не имеет) по равностороннему треугольнику и соединить прямыми их центры тяжести, то полученный таким образом новый треугольник тоже будет равносторонним.

— Насколько я понимаю, именно это и нуждается в доказательстве, — капризно замечает Фило.

— Совершенно верно. Какого рода доказательство вы желаете получить? Общее или частное — на числовом примере?

— Достаточно будет и частного!

— Понятно, — ядовито кивает Мате. — Тогда к общему виду потрудитесь привести его самостоятельно. А теперь вычертим произвольный треугольник и выберем систему координат с началом в одной из вершин треугольника. Скажем, в точке О. Ось иксов направим вдоль стороны ОВ. — Говоря это, Мате набрасывает чертеж в своем неизменном блокноте. — Как видите, координаты вершины О — нуль, нуль; вершины А — четыре, пять; вершины В — девять, нуль. Теперь нетрудно вычислить и размеры сторон треугольника.

— По известной формуле, — сейчас же соображает Асмодей. — Квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разностей координат этих точек, иначе говоря

d²= (X₁ — Х₂)² + (У₁ — У₂)².

— Очень хорошо. Подставим в эту формулу координаты соответствующих вершин треугольника. Тогда:

ОА² = 4² + 5² = 41; а ОА = √41; ОВ2 = 81, а ОВ = 9

и

АВ² = (9—4)² + 5² = 50; а АВ = √50 = 5√2.

Ну, а теперь построим на сторонах нашего треугольника новые треугольники, на сей раз равносторонние. Намечаю их пунктиром. Буквами n, m и р обозначим точки пересечения медиан в каждом из них. Это и будут их центры тяжести. Точки эти, как известно, находятся на расстоянии двух третей медианы, считая от вершины. В первом равностороннем треугольнике это Am = От. Во втором — An = Вn. В третьем — Вр = Ор. Но так как в равностороннем треугольнике медианы являются в то же время и высотами, а высота в этом случае равна половине стороны, умноженной на √3, то

Аm = mO = ²/₃AO × ^√3/₂ = AO × ^√3/₃

An = Bn = AB × ^√3/₃

и

Bp = Op = OB × ^√3/₃.

Иначе:

(Ат)² = (m

O)² = (AO)²/3 = 41/3, (An)² = (Вn)² = AB²/3 = 50/3;

(Вр)² = (Ор)² = OB²/3 = 27.

Мате на мгновение отрывается от чертежа и, убедившись, что Фило еще жив, продолжает:

— Далее обозначим искомые координаты центров тяжести равносторонних треугольников. Точки m: х₁, у₁; точки n: x₂, у₂; точки р: х₃, у₃. Займемся сперва одним треугольником и по известной уже нам формуле о квадрате расстояния между двумя точками вычислим, что

(Am)² = (Оm)² = (x₁ — 4)² + (y₁ — 5)² = x₁

² + y₁² = 41/3.

Решая систему двух уравнений:

(x₁ — 4)² + (y₁ — 5)² = x₁² + y₁² и x₁² + y₁² = 41/3,

найдем, что

x₁ = 2 ± 5/6 √3; y₁ = 2,5 ± 2/3 √3.

— А как это у вас получилось? — неожиданно для себя самого интересуется Фило.

— По-моему, это понятно всякому школьнику, — сердито отвечает Мате.

— Допустим. А как же быть с двумя знаками перед вторыми слагаемыми? Какой из них выбрать?

— Ну, а это уж где как. Обратите внимание на то, что первые слагаемые (2 и 2,5) — это координаты середины стороны ОА. В самом деле:

(O + 4)/2 = 2 и (O + 5)/2 = 2,5

А точка т лежит слева от этой середины, но выше ее. Следовательно, в первом равенстве (x₁) надо сохранить знак минус, а во втором (у₁) — знак плюс. Поэтому окончательно:

x₁ = 2 — ⁵/₆ × √3;  y1 = 2,5 + ²/₃ × √3.

Точно таким же образом найдем координаты точек n и р:

x₂ = 6,5 + ⁵/₆ × √3,  y₂ = 2,5 + ⁵/₆ × √3;  x₃ = 4,5,  y₃ = —²/₃ × √3.