Искатели необычайных автографов, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков

— Но не будем все же забывать, — продолжал Мате, — что математика — наука обширная. Задачи ее чрезвычайно разнообразны. Наивно было бы думать, что она нужна только физикам, химикам, астрономам, биологам и литературоведам. Математика в первую очередь необходима самим математикам, которые рассматривают ее не только как подспорье для других наук, но прежде всего как самостоятельный предмет изучения.

— Вы хотите сказать, что есть математика прикладная, а есть — отвлеченная, то есть теоретическая?

— Совершенно правильно, — оживленно закивал Мате. — И меня лично занимает именно вторая, отвлеченная, или, как говорят, чистая математика. Точнее, один из ее разделов: наука о числе. А еще точнее — целые числа.

— Значит, числа, как я понимаю, интересуют вас сами по себе, независимо от того, что они выражают?

— Да, да и в третий раз да! Числами я заболел с юности. С того самого дня, как прочитал книгу чудесного русского математика Александра Васильевича Васильева. Она называется «Целое число». Теперь, после того как вы научили меня любить стихи, мне не стыдно назвать эту книгу поэмой. Да, то была настоящая поэма, которая ввела меня в необычайный мир чисел, раскрыла их красоту, научила отыскивать скрытые числовые взаимосвязи… С тех пор все свое свободное время я отдавал поискам числовых закономерностей. Они преследовали меня повсюду. Я обнаруживал их в номерах телефонов, на вывесках сберкасс, на номерных знаках автомобилей. Увидав какое-нибудь число, я сейчас же начинал производить с ним всевозможные манипуляции: складывал цифры, перемножал их, менял местами, сопоставлял первые с последними и всегда находил что-нибудь занятное…

Потом я увлекся числовыми треугольниками. Натолкнул меня на это увлечение арифметический треугольник Паскаля. Все числа его связаны между собой железными закономерностями, и это настолько меня поразило, что я стал выдумывать свои собственные числовые треугольники. При этом у меня не было никакой практической задачи, никакой цели. Просто-напросто я играл числами. Но потом, много лет спустя, какой-то из моих треугольников неожиданно пригодился для решения одного из видов дифференциальных уравнений. Другой, изобретенный мною, треугольник оказался удобным подспорьем при решении задачи о колебаниях коленчатого вала.

— Вот даже как! — произнес Фило с невольной робостью. — Остается пожалеть, что вы забросили это интересное занятие…

— Забросил?! — Мате демонически расхохотался. — Так знайте же: не далее чем вчера у меня появился новый числовой треугольник. Желаете убедиться?

— Сделайте одолжение!

— Тогда смотрите сюда. — Мате указал на блокнот. — Перед вами ряд чисел: 1 2 5 13 34 89. Вам он о чем-нибудь говорит?

Фило наморщил лоб.

— Вроде бы что-то знакомое, и в то же время не совсем…

— Молодец! Это и в самом деле знакомый вам ряд чисел Фибоначчи, только неполный. Здесь представлены лишь те числа, которые стоят на нечетных местах: первое, третье, пятое и так далее. Обратите также внимание на то, что этот частичный ряд тоже имеет свою собственную закономерность: каждый член его, начиная со второго, равен сумме всех предыдущих, если при этом ближайшее к нему число слева удвоено…

— Ну-ка, проверим! — сказал Фило. — Действительно: 1 + 2 + 5 + (13 × 2) = 34. Но где же все-таки треугольник? Я его не вижу!

— Немного терпения: я как раз начинаю его строить. Под числами первого ряда, в промежутке между ними, записываю числа, равные разности между двумя вышестоящими числами первого ряда, и получаю вторую строку:

— Смотрите-ка, снова числа Фибоначчи!

Но Мате объяснил, что иначе и быть не могло: ведь каждое число Фибоначчи есть разность между двумя соседними числами ряда.

Далее, составив тем же способом следующие строки, он продолжил таблицу и получил числовой треугольник:

— Вы, конечно, понимаете, — добавил Мате, — что треугольник может быть расширен и удлинен до бесконечности. Так вот, я заметил, что, путешествуя по наклонным рядам этого треугольника, начиная с единицы, можно совершать самые разнообразные зигзаги, каждый раз получая полный ряд чисел Фибоначчи.

Он снова обратился к чертежу и наметил несколько маршрутов по треугольнику.

— А знаете, это и впрямь чертовски занимательно, — признался Фило.

— Погодите, я еще не кончил, — остановил его Мате. — Повернем тот же треугольник по ходу часовой стрелки градусов этак на сорок, заодно увеличив его на несколько строк, а потом сложим числа каждой горизонтальной строки.

— Зачем?

— Сейчас поймете.

Мате выписал треугольник, поставив на уровне каждой строки сумму ее чисел.

— Во-первых, обратите внимание на то, что вдоль левой боковой стороны этого числового треугольника расположены последовательные числа Фибоначчи, — сказал он.

— Обратил, — подтвердил Фило. — А во-вторых?

— Во-вторых, исследуя полученные суммы, я увидел, что каждую из них можно, в свою очередь, представить в виде суммы ряда простых чисел. Для порядка начнем с единицы — ведь она как-никак тоже число простое.