Искусство статистики. Как находить ответы в данных

Средние значения способны сильно вводить в заблуждение, когда исходные данные имеют не симметричное распределение, а сильно перекошенное в какую-либо сторону (как при догадках о количестве драже). Как правило, так происходит при наличии большой группы стандартных случаев и хвоста из нескольких высоких (скажем, величина дохода) или низких (число ног) значений. Я могу практически гарантированно утверждать, что вы гораздо меньше рискуете умереть в следующем году по сравнению с людьми вашего возраста и пола (если средний риск вычислять как среднее арифметическое). Например, согласно таблицам смертности для Соединенного Королевства, 1 % 63-летних мужчин не доживают до 64-летия. Однако многие из тех, кто умрет, уже серьезно больны, а потому риск для подавляющего большинства (тех, кто относительно здоров) меньше, чем средний.

К сожалению, когда в СМИ пишут о среднем, часто непонятно, следует это толковать как среднее арифметическое или как медиану. Например, Национальная статистическая служба Великобритании вычисляет средний недельный заработок (который рассчитывается как среднее арифметическое), а также публикует медианные заработки, предоставляемые местными органами. Это позволяет отличить «средний доход» (среднее арифметическое) от «дохода среднего человека» (медиана). Цены на дома имеют крайне асимметричное распределение с длинным правым хвостом элитной недвижимости, поэтому официальные индексы для цен на жилье указываются в виде медианных значений. Однако обычно пишут о «цене в среднем», что является весьма неоднозначным термином. Это «цена среднего дома» (то есть медиана)? Или «средняя цена дома» (то есть среднее арифметическое)? Как видите, перестановка слов имеет большое значение.

А теперь пришло время обнародовать результаты нашего эксперимента с мудростью толпы; может, он не такой захватывающий, как определение веса быка, зато с чуть большим количеством голосов, чем у Гальтона.

Из-за наличия длинного правого хвоста среднее арифметическое 2408 было бы плохой оценкой, а мода (чаще других названное значение) 10 000, похоже, отражает склонность людей выбирать круглые числа. Поэтому предпочтительнее последовать примеру Гальтона и использовать в качестве общей оценки медиану. Она равна 1775, хотя на самом деле в банке находилось 1616 драже[46]. Правильно это число угадал только один человек, 45 % дали оценки ниже этого значения, а 55 % – выше. Поэтому наблюдается небольшая асимметрия, и мы говорим, что истинное значение находится на 45-м процентиле[47]. Медиана, которая является 50-м процентилем, дала избыточную оценку: 1775–1616 = 159 и оказалась примерно на 10 % больше правильного ответа. Только каждый десятый человек указывал оценку лучше, чем полученное медианное значение. Таким образом, мудрость толпы оказалась вполне на уровне, а именно гораздо ближе к истине, чем 90 % отдельных людей.

Разброс распределения данных

Свести распределение к единственному числу недостаточно – нужно иметь представление о разбросе данных (рассеивании, отклонении от среднего). Например, знание среднего размера обуви взрослого мужчины никак не поможет обувной фабрике определить, сколько пар обуви каждого размера производить. Один размер не годится для всех, что прекрасно иллюстрируют пассажирские кресла в самолетах.

В табл. 2.1 приведены статистические данные для выборки по драже. Она предлагает три способа демонстрации разброса. Естественный вариант – размах[48]

, однако он крайне чувствителен к экстремальным значениям, таким как весьма странное предположение о наличии в банке 31 337 драже[49]. Напротив, на интерквартильный размах такие выбросы не очень влияют. Интерквартильный размах – это разность между третьим и первым квартилем (то есть 75-м и 25-м процентилем); иными словами, сюда входит «центральная половина» всех чисел, в нашем случае – от 1109 до 2599 драже. Ящик на диаграмме типа «ящик с усами» как раз и включает интерквартильный размах. Наконец, в качестве меры разброса широко используется стандартное (среднеквадратичное) отклонение. Но поскольку его сложнее вычислять и оно сильно подвержено влиянию выбросов, оно лучше всего подходит для симметричных и хорошо себя ведущих данных[50]

. Например, удаление из выборки одного (почти гарантированно ошибочного) числа 31 337 приводит к уменьшению среднеквадратичного отклонения с 2422 до 1398[51].

Таблица 2.1

Характеристики выборки для 915 предположений о количестве драже в банке. Истинное число равно 1616