Избранные научные труды

мы видим, что уравнению (60) удовлетворяет функция

=

Ar

ⁿ

cos n sin qt

-

3n(n-1)^2(2n+1)

8(2n^2+1)qa^2

A^2r

²ⁿ

cos 2n sin 2qt,

(61)

где, как и в первом приближении,

q^2

=

T

a^3

(n^3-n)

.

(62)

Подставляя это в (58), получаем

t

=-

na

^n-1

A

cos n sin qt

+

+

A^2

n^2

4q

2n^3-7n^2-2n+4

2n^2+1

a

^2n-3

cos 2n sin 2qt

+

+

A^2

n^2

4q

a

^2n-3

sin 2qt,

(63)

а из (63) имеем

=-

n

q

A

a

^n-1

cos n cos qt

-

-

A^2

n^2

8q^2

2n^3-7n^2-2n+4

2n^2+1

a

^2n-3

cos 2n cos 2qt

-

-

A^2

n^2

8q^2

a

^2n-3

cos 2qt

+

f.

(64)

Подставляя в (59) найденные значения для , q, и F'(t), имеем уравнение

f

+

f'

=-

A

n^2

8q^2

(2n+1)(n^2+2n-2)

a

^2n-3

cos 2n

+const,

которому удовлетворяет функция

f

=

A^2

n^2

8q^2

n^2+2n-2

2n+1

a

^2n-3

cos 2n

+C.

(65)

Из условия (49) в этом случае получаем

C=-

A^2

n^2

8q^2

a

^2n-3

.

(66)

Формулы (64), (65) и (66) дают

=

n

q

A

a

^n-1

cos n cos qt

-

-

A^2

n^2

8q^2

2n^3-7n^2-2n+4

2n-1

a

^2n-3

cos 2n cos 2qt

+

+

A^2

n^2

8q^2

n^2+2n-2

2n-1

a

^2n-3

cos 2n

-

-

A^2

n^2

8q^2

a

^2n-3

cos 2qt

-

A^2

n^2

8q^2

a

^2n-3

 

.

(67)

ТРЕТЬЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Из уравнений (47) и (48) находим

t

+

r

-

1

r^2

+

^2

r^2

+

^2

2

^3

r^3

+

+

2

r^3

-

r^2

^2

r

r=a

=0

(68)

и

t

+

^2

rt

+

^2

2

^2

r^2t

-

1

2

r

^2

-

1

2r^2

^2

-

-

^2

r^2

r

-

r^2

^2

r

+

r^3

^2

r=a

-

-T

1

a

-

a^2

-

1

a^2

^2

^2

+

^2

a^3

+

1

2a^3

^2

+

+

2

a^3

^2

^2

-

³

a⁴

-

3

2a⁴

^2

-

3

a⁴

^2

^2

+

3

2a⁴

^2

^2

^2

+

F(t)=0

.

Подставляя сюда значения , и q из формул (61), (62) и (67), получаем (чтобы не усложнять выкладки сверх необходимого, мы ограничимся вычислением лишь тех членов, которые дают вклад в изменение q)

t

+

r

r=a

=

n^3(n^2-1)(28n^3-42n^2+35n-6)

32q^2(2n^2+1)(2n-1)

x

x

A

³

a

^3n-5

cos n sin qt

+

+

P

₁

cos 2n sin 2qt

+

P

₂

sin 2qt

+

P

₃

cos 3n sin 3qt

+

+

P

₄

cos 3n sin qt

+

P

₅

cos n sin 3qt

(70)

и

t

r=a

-T

1

a

-

a^2

-

1

a^2

^2

^2

+

F(t)

=

=

-

n^2(n^2-1)(40n^3-24n^2+65n-30)

32q^2(2n^2+1)(2n-1)

A

³

a

^3n-5

cos n sin qt

+

+

Q

₁

cos 2n cos 2qt

+

Q

₂

cos 2n

+

Q

₃

cos 2qt

+

Q

₄

+

+

Q

₅

cos 3n cos 3qt

+

Q

₆

cos 3n cos qt

+

Q

₇

cos n cos 3qt

(71)

Исключая из соотношений (70) и (71), находим

^2

t^2

-

S

a^2

r

+

^3

r^2

r=a

+

F'(t)

=

=

-

n^2(n^2-1)(34n^3-33n^2+50n-18)

16q^2(2n^2+1)(2n-1)

A

³

a

^3n-5

cos n sin qt

+

+

S

₁

cos 2n sin 2qt

+

S

₂

sin 2qt

+

S

₃

cos 3n sin 3qt

+

+

S

₄

cos 3n sin qt

+

S

₅

cos n sin 3qt

(72)

Полагая F'(t)=S₂ sin 2qt, уравнению (72) можно удовлетворить при

Q=

Ar

ⁿ

cos n sin qt

+

A

₁

r

²ⁿ

cos 2n sin 2qt

+

+

A

₂

r

³ⁿ

cos 3n sin 3qt

+

A

₃

r

³ⁿ

cos 3n sin qt

+

+

A

₄

r

ⁿ

cos n sin 3qt

,

(73)

если

q^2

=

T

a^3

(n^3-n)

1-

A^2

a

^2n-4

n^2(n^2-1)(34n^3-33n^2+50n-18)

16q^3(2n^2+1)(2n-1)

.

(74)

Продолжая вычисления таким же образом, как и во втором приближении, получаем

=A

n

q

a

^n-1

1-

A^2

n^2

q^2

a

^2n-4

(n^2-1)(28n^3-42n^2+35n-6)

32(2n^2+1)(2n-1)

x

x

cos n sin qt

+

+

B

₁

cos 2n cos 2qt

+

B

₂

cos 2n

+

B

₃

cos 2qt

+

B

₄

+

+

B

₅

cos 3n cos 3qt

+

B

₆

cos 3n cos qt

+

B

₇

cos n cos 3qt

,

(75)

где коэффициенты B₁, B₂, B₃ и B₄ - те же, что и во втором приближении, а B₅, B₆ и B₇ — величины порядка A^3.

Полагая коэффициент при cos n cos qt в формуле (75) равным b, находим в результате всех вычислений, что уравнение поверхности цилиндра из жидкости, совершающего чисто периодические двумерные колебания, имеет вид

r=a+b

cos n cos qt

+

b^2

a

-

2n^3-7n^2-2n+4

8(2n^2+1)

cos 2n cos 2qt

+

+

n^2+2n-2

8(2n-1)

cos 2n

-

1

8

cos 2qt

-

1

8

+

b^3

a^2

(…)+…

,

(76)

где

q^2

=

T

a^3

(n^3-n)

1-

b^2

a^2

(n^2-1)(34n^3-33n^2+50n-18)

16(2n^2+1)(2n-1)

+

+

b⁴

a⁴

(…)+…

.

В экспериментах струя обычно совершает стационарные колебания в трёх измерениях, так что сечение струи не одинаково во всех точках. Если, однако, скорость струи c столь велика, что длина волны велика по сравнению с диаметром струи, то в каждом сечении движение будет очень мало отличаться от движения в двумерном случае, и тогда можно считать, что форма поверхности струи описывается уравнением (76).

Полное решение в трёхмерном случае можно записать в виде

r=a+b

cos n cos kz

+

+

N

₁

b^2

a

1+

_1,1

a

2

1+

_1,2

a

4

+…

cos 2n cos 2kz

+

+

N

₂

b^2

a

1+

_2,1

a

2

+…

cos 2n

+…

и

k^2

=

1

c^2

T

a^3

(n^3-n)

1+

₁

a

2

+

₂

a

4

+…

x

x

1+

M

₁

b^2

a^2

1+

₁

a

2

+…

+

M

₂

b⁴

a⁴

(1+…)+…

,

где константы N₁, N₂, … и M₁, M₂, … равны соответствующим константам в уравнении (76) при подстановке в него t=z/c, и q=2/c=k/c.

Пренебрегая поправками более высокого порядка по b/a, пользуясь формулой Рэлея для длины волны бесконечно малых трёхмерных колебаний [см. соотношение (36)] и полагая для простоты n=2 (что соответствует проведенным экспериментам), получаем

r=a+b

cos 2 cos kz

+

b^2

6a

cos 4 cos 4kz

+

b^2

4a

cos 4

-

-

b^2

8a

cos 2kz

-

b^2

8a

…

(77)

и

k^2

=

Tika

J

_'

²

(ika)

c^2a^3 J

 

² (ika)

(3+a^2k^2)

1-

l^2

k^2

37

24

.

(78)

Формула (78) даёт искомую поправку к длине волны.

Из уравнения (77) можно сделать ещё некоторые заключения. Полагая z=0, получаем

r=a-

b^2

4a

+b cos 2+

5

12

b^2

a

cos 4+… .

(79)

Такой вид должно иметь уравнение границы отверстия, из которого вытекает струя, чтобы колебания были чисто периодическими (предполагается, что скорость в каждой точке сечения струи у отверстия одна и та же по величине и направлению). Отсюда видна ошибочность точки зрения П. О. Педерсена, согласно которой струя, вытекающая из отверстия с уравнением границы r=+ cos 2, должна совершать колебания более близкие к чисто периодическим, чем струя из эллиптического отверстия (r=+ cos 2 + 3/4·^2/ cos 4…).

Полагая =0, имеем

r=a

+

b^2

8a

+b cos kz

+

1

24

b^2

a

cos 2kz

+…

(80)