Изложение системы мира

Каковы бы ни были свойства земных меридианов, уже только потому, что длина градуса уменьшается от полюса к экватору, Земля сжата у полюсов, т.е. полярная ось меньше экваториальной. Чтобы это показать, положим, что Земля есть тело вращения, и представим себе радиус одного градуса на Северном полюсе и ряд всех этих радиусов от полюса до экватора, радиусов, которые, по предположению, всё время уменьшаются.

Очевидно, что эти радиусы образуют своими последовательными пересечениями кривую, которая сперва касательна к полярной оси за экватором относительно Северного полюса, затем обращается выпуклостью к этой оси и поднимается к плоскости экватора до тех пор, пока радиус градуса меридиана не примет направление, перпендикулярное к исходному: тогда он оказывается в плоскости экватора. Если представить себе радиус полярного градуса гибким и охватывающим последовательно дуги кривой, которую мы только что рассматривали, его конец опишет земной меридиан, и его часть, заключённая между меридианом и кривой, будет радиусом соответствующего градуса меридиана. Эта кривая у геометров называется развёрткой меридиана (эвольвентой). Примем теперь за центр Земли пересечение экваториального диаметра и полярной оси. Сумма двух касательных к развёртке меридиана, проведённых из этого центра, первая — по полярной оси, а вторая — по диаметру экватора, будет больше, чем заключённая между ними дуга развёртки. Радиус, проведённый из центра Земли к Северному полюсу, равен радиусу полярного градуса без первой касательной, а полудиаметр экватора равен сумме радиуса градуса меридиана на экваторе и второй касательной. Избыток полудиаметра над земным радиусом на полюсе равен сумме этих двух касательных без избытка радиуса полярного градуса над радиусом градуса меридиана на экваторе. Этот последний избыток и есть сама дуга развёртки, дуга, которая меньше суммы экстремальных касательных. Следовательно, избыток полудиаметра экватора над радиусом, проведённым из центра Земли, положителен. Можно также доказать, что избыток этого полудиаметра над радиусом, проведённым из центра Земли к Южному полюсу, тоже положителен. Поэтому вся полярная ось меньше диаметра экватора, или, что сводится к тому же, Земля сжата с полюсов.

Рассматривая каждую часть меридиана как развёртку очень малой дуги её оскулирующей окружности, легко увидеть, что радиус, проведённый из центра Земли к концу дуги, более близкому к полюсу, меньше, чем радиус, проведённый из этого же центра к другому концу. Отсюда следует, что земные радиусы увеличиваются от полюса к экватору, если, как это указывают все наблюдения, градусы дуги меридиана увеличиваются от экватора к полюсам.

Разность радиусов градуса меридиана на полюсе и на экваторе равна разности соответствующих земных радиусов плюс избыток удвоенной развёртки над суммой двух экстремальных касательных; избыток этот, очевидно, положителен. Следовательно, градусы меридиана возрастают от экватора к полюсу в большем отношении, чем уменьшаются земные радиусы. Ясно, что эти доказательства имеют место и в том случае, если северное и южное полушария Земли не одинаковы и не подобны; их легко распространить также на случай, если бы Земля не была телом вращения.

Из главных пунктов Франции, расположенных на меридиане Парижской обсерватории, были построены кривые, проведённые таким же образом, как и линия, описанная выше, но с той разницей, что их первый отрезок, всегда касательный к поверхности Земли, вместо того, чтобы быть параллельным плоскости небесного меридиана Парижской обсерватории, был ему перпендикулярен. По длине этих кривых и по расстояниям от обсерватории до точек их пересечения с меридианом были определены положения этих точек. Эта работа, самая полезная из тех, что были сделаны в географии, является образцом, которому просвещённые нации спешат подражать и который вскоре будет распространён на всю Европу.