Как не ошибаться. Сила математического мышления

Возможно, иллюстрация того, что число π должно находиться в пределах от 2 до 4, производит не такое уж большое впечатление. Но Архимед только начинает. Возьмите четыре вершины вписанного квадрата и обозначьте на окружности новые точки, равноудаленные от каждой пары смежных вершин. Теперь у вас на окружности восемь точек, расположенных на равном расстоянии друг от друга. Соединив их, вы получите вписанный восьмиугольник, или, если говорить на техническом языке, «стоп-сигнал».

Вычислить площадь вписанного восьмиугольника немного труднее, но я не собираюсь утруждать вас тригонометрией. Важно, что мы по-прежнему имеем дело с прямыми и вершинами, а не с кривыми, поэтому данную задачу можно было решить с помощью методов, которые были в распоряжении Архимеда. Так вот, площадь восьмиугольника в два раза больше квадратного корня из 2, то есть примерно 2,83.

Вы можете сыграть в ту же игру с описанным восьмиугольником, площадь которого равна 8(√2 – 1), немногим более 3,31.

Таким образом, площадь круга находится в пределах от 2,83 до 3,31.

Но зачем останавливаться на этом? Вы можете обозначить на окружности точки, равноудаленные от вершин восьмиугольника (вписанного или описанного), – и получите шестнадцатиугольник; дополнительные тригонометрические расчеты покажут, что площадь круга находится в пределах от 3,06 до 3,18. Проведите процедуру еще раз, чтобы получить 32-угольник, а затем повторите снова и снова – и вскоре получите нечто похожее на такую фигуру.

Но разве это не окружность? Разумеется, нет! Это правильный многоугольник с 65 536 сторонами! Неужели вы не видите?

Великое озарение Евдокса и Архимеда состоит в том, что на самом деле не имеет значения, что это за фигура – окружность или многоугольник с очень большим количеством очень коротких сторон. Площади этих двух фигур достаточно близки для любых возможных целей. Площадь небольшой области между окружностью и многоугольником была «исчерпана» в процессе нашего неутомимого последовательного приближения. Да, окружность – это кривая, это действительно так. Но каждый крохотный фрагмент этой кривой можно приблизить к идеально прямой линии, подобно тому как крохотный кусочек поверхности Земли, на котором мы стоим, приближен к идеально ровной плоскости[39].

Следует запомнить девиз: локально прямая, глобально кривая.

Или лучше представьте: вы мчитесь по направлению к окружности с большой высоты; сначала вы видите всю окружность;

затем только один сегмент дуги окружности;

а затем еще более мелкий сегмент.

Продолжайте это до тех пор, пока, приближаясь все больше и больше, вы не увидите нечто напоминающее прямую линию. Ползущему по кругу муравью, видящему лишь пространство, непосредственно его окружающее, представляется, будто он ползет по прямой. Точно так же человеку, стоящему на поверхности Земли, кажется, что он стоит на плоскости (если только он не окажется настолько проницательным, что обратит внимание, как на горизонте поднимаются приближающиеся издалека объекты).

Суть математического анализа, изложенного на одной странице

Теперь я хочу объяснить вам суть математического анализа. Готовы? Вот идея, за которую мы должны благодарить Исаака Ньютона: в идеальном круге нет ничего особенного. Каждая гладкая кривая при достаточном увеличении масштаба напоминает прямую линию[40]. Не имеет значения, насколько изогнута или закручена эта кривая, – главное, что у нее нет острых углов.

Когда вы запускаете ракету, траектория ее перемещения выглядит так.

Ракета сначала движется вверх, а затем вниз, образуя параболическую дугу. Сила тяжести изгибает любую траекторию движения по направлению к поверхности Земли; это один из самых фундаментальных законов нашей физической жизни. Но, если мы увеличим масштаб и рассмотрим очень короткий отрезок этой кривой, она будет выглядеть так.

Затем так.

Как и в случае окружности, траектория движения ракеты кажется прямой линией, направленной вверх под определенным углом. Безусловно, эта линия отклоняется под действием силы тяжести, но подобное отклонение слишком незначительно, чтобы увидеть его невооруженным глазом. Приближение к еще более мелкому участку кривой делает линию еще больше похожей на прямую. Чем больше приближение, тем ровнее участок кривой.

А теперь сделаем концептуальный скачок. Ньютон сказал: послушайте, давайте пойдем до конца. Уменьшайте поле зрения до тех пор, пока оно не станет бесконечно малой величиной – настолько малой, что она будет меньше любого размера, который вы можете назвать, но все же не равной нулю. Вы изучаете траекторию движения ракеты не на протяжении очень короткого периода, а в один момент времени. В таком случае то, что было почти прямой линией, становится в точности прямой. Наклон этой кривой Ньютон называл флюксией, а мы называем производной.