Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

во-вторыхъ, надъ уменьшаемымъ появляется какой-то странный рядъ цифръ 24031. Объясняется онъ такъ. Когда мы начинаемъ дйствіе справа и хотимъ вычесть 8 изъ 2, то, конечно, намъ вычесть нельзя, и мы должны къ 2 единицамъ еще занять 1 десятокъ изъ 4-хъ; вотъ этотъ — то одинъ занятой десятокъ и пишется надъ цифрой единицъ и образуетъ вмст съ ней 12; 8 изъ 12=4, слдовательно, простыхъ единицъ въ отвт 4. Вычитая дале десятки, мы должны считать ихъ въ уменьшаемомъ не 4, а 3, такъ какъ одинъ десятокъ раздробленъ въ простыя единицы; и вотъ, чтобы не сбиться, Планудесъ ставитъ надъ цифрой десятковъ 4 новую цифру 3 и продолжаетъ находить отвтъ также для сотенъ, тысячъ и десятковъ тысячъ. Изъ этого видно, что рядъ цифръ 24031 представляетъ собою исправленные разряды числа, когда въ нихъ произошло заниманіе.

Во всхъ разобранныхъ примрахъ, начиная съ Бенъ-Музы, проявляется, несмотря на видимое разнообразіе подробностей, одинъ и тотъ же основной пріемъ, и очевидно тотъ самый, который примняется и въ нашемъ настоящемъ способ вычитанія. Это не важно, съ какой руки начинать дйствіе, и гд записывать цифры, которыя мы привыкли держать въ ум, но важно то, какъ производить заниманіе, потому что оно составляетъ самое трудное и сбивчивое мсто во всемъ вычитаніи. Во всхъ примрахъ, взятыхъ выше, заниманіе производилось нормальнымъ путемъ: если, напр., единицъ внизу больше, чмъ вверху, то берется десятокъ, прикладывается къ единицамъ, и такимъ образомъ дйствіе становится возможнымъ. Въ виду одинаковости заниманія, мы относимъ вс предыдущіе примры къ одному виду, или способу, который мы и называемъ первымъ способомъ вычитанія.

Чтобы объяснить второй способъ, беремъ примръ: 5975—497. Такъ какъ 7 изъ 5 не отнимается, то отнимаемъ 7 изъ 15, будетъ 8. Но, вычитая 7 изъ 15-ти вмсто 5-ти, мы этимъ къ уменьшаемому прибавляемъ лишній десятокъ. такъ какъ въ немъ простыхъ единицъ всего только 5, а мы говоримъ 15. Но не будемъ занимать этого десятка отдльно въ десяткахъ уменьшаемаго, потому что такимъ путемъ мы опять придемъ къ 1-му способу; вмсто того, мы отнимаемъ этотъ занятой десятокъ отъ 7 десятковъ уменьшаемаго тогда, когда будемъ отнимать десятки вычитаемаго, и намъ вмсто 9 придется отнять 10 десятковъ; такъ какъ 10 изъ 7-ми не вычитается, то надо занять сотню; ее мы опять-таки не будемъ занимать отдльно и не будемъ отнимать прямо отъ 9 сотъ уменьшаемаго, а вычтемъ вмст съ 4-мя стами. Тогда, отнявши отъ 9 сотъ 5, получимъ 400. Теперь легко понять, чмъ отличается второй способъ вычитанія отъ перваго. По второму способу тотъ десятокъ или та сотня, которые мы занимаемъ, не отнимаются сейчасъ же отъ десятковъ или сотенъ умевьшаемаго, а придаются къ десяткамъ или сотнямъ вычитаемаго, и тогда уже вычитаются вмст съ ними; слдовательно, не цифры уменьшаемаго понижаются на единицу, а наоборотъ цифры вычитаемаго повышаются на единицу, если только, конечно, изъ соотвтетвующаго разряда занимаютъ. Вотъ еще примръ: 1236—879. Ршеніе: 9 изъ 16-ти—7, 8 изъ 13-ти—5, 9 изъ 12-ти—3, всего 357. Чтобы отмтить, какія цифры вычитаемаго повышаются, надъ ними ставятъ точки. Этотъ второй способъ получилъ начало уже давно, еще со времени М. Планудеса и ране, примняется же онъ теперь иногда во французскихъ школахъ. Въ немъ видятъ даже нкоторое удобство, сравнительно съ нашимъ пріемомъ, потому что въ немъ занятая единица всегда прикладывается, а у насъ отнимается, прикладывать же вообще проще и естественне, чмъ отнимать, такъ какъ и сама ариметика начинается съ элементарнаго прикладыванія, т.-е. счета по единиц. Но, разумется, это выгода довольно призрачная, и все дло зависитъ отъ привычки: насъ пріучали съ малыхъ лтъ ставить точку надъ уменьшаемымъ, а не надъ вычитаемымъ, и это насъ не затрудняетъ, а даже кажется боле легкимъ.