Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Замчательно мсто у Магницкаго, въ которомъ онъ трактуетъ объ умноженіи простыхъ дробей. Здсь явственно вылилась вся нетребовательность по отношенію ко всякимъ выводамъ и объясненіямъ. Достаточно сообщить правило, а кром него что же еще надо? такъ, наврное, думаетъ Магницкій, и мы не можемъ отказать себ въ томъ, чтобы не привести отрывка изъ его ариметики. Стр. 54

«Мултипликаціо или умноженіе въ доляхъ. Что въ семъ предленіи достоитъ вдати. Впервыхъ подобаетъ вдати яко во умноженіи нсть потреба да сравняеши доли къ единакому знаменателю: но яковы доли дадутся, таковы и умножати числители чрезъ чиелители, и знаменатели чрезъ знаменатели, якоже 3/8 чрезъ 1/4 . 3 чрезъ 1 будетъ 3, а 8 чрезъ 4, будетъ 32, и еже отъ числителей произыдетъ напиши надъ чертою, а отъ знаменателей произведеное напиши подъ чертою и будетъ ³/₃₂».

Итакъ, въ ариметик дается только правило, безъ вывода, зато посл правила идетъ цлый рядъ примровъ, всего 60 номеровъ, съ отвтами, и предлагается заняться продлываніемъ этихъ примровъ, чтобы, такъ сказать, набить руку въ этомъ правил.

Преемники Магницкаго, т.-е. составители русскихъ учебниковъ XVIII и даже ХІХ в., не оказались счастливе его въ этомъ случа. Они тоже или не даютъ никакихъ объясненій умноженія дробей, или даютъ объясненія спутанныя и трудныя. Такъ, въ ариметик Адодурова (1740 г.) про умноженіе дробей объясняется на 29 страницахъ, при чемъ объясненіе дано очень растянутое, многословное и малоубдительное. У Румовскаго (1760 г.) передъ дробями расположены пропорціи, и умноженіе дробей выводится изъ общаго свойства пропорцій, именно, что произведеніе крайнихъ членовъ равно произведенію среднихъ членовъ. И сами пропорціи являются для учениковъ темнымъ мстомъ, а ужъ про выводъ изъ нихъ и говорить нечего, особенно когда он идутъ на буквахъ, какъ это видимъ у Румовскаго. Порядочное изложеніе встрчаемъ мы у Загорскаго (1806 г.), но уже у Павла Цвткова (1834 г.) опять тянется старая псня. «Какъ множится дробь на дробь?» спрашиваетъ онъ, и отвчаетъ:

«При умноженіи дробей на дроби надлежитъ множить числітелей на числителей, а знаменателей на знаменателей».

Этимъ заканчивается § 34, и авторъ уже боле не желаетъ возвращаться къ подобному скучному вопросу, къ которому, вдобавокъ, никакъ еще не придумать подходящаго объясненія. И это въ то время, когда Цвтковъ для боле легкаго вопроса, для умноженія дроби на цлое, находитъ нужнымъ и возможнымъ дать толковое объясненіе.

Да, умноженіе на дробь и въ старину, и еще теперь является однимъ изъ самыхъ больныхъ мстъ начальной ариметики.

Дленіе. Дленіе дробей шло все время правильнымъ путемъ, безъ скачковъ и отклоненій въ сторону. Еще древніе египтяне вполн логично заключали, что дленіе обратно умноженію, и что поэтому его можно привести къ умноженію. По своей привычк къ основнымъ дробямъ, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц, они и дленіе разсматривали съ точки зрнія этихъ дробей. Примръ: 2 : 1 1/3 1/4 . Здсь египтяне ставили вопросъ: на какое чиоло надо помножить выраженіе 1 1/3 1/4 , иначе сказать 1 + 1/3 + 1/4 , чтобы получить въ произведеніи 2? Для этого помножаемъ количество 1 1/3 1/4 на 2/3 1/3 ¹/₆¹/₁₂, и получаемъ ²⁸⁵/₁₄₄; при этомъ отдльно помножается множимое число на 2/3 , на 1/3 , на ¹

/₆ и на ¹/₁₂, съ такимъ расчетомъ, чтобы каждое слдующее произведеніе было вдвое меньше предыдущаго. Такъ какъ ²⁸⁵/₁₄₄ отличается отъ даннаго числа 2 на ³/₁₄₄, т.-е. на ¹/₇₂

¹/₁₄₄, то остается ршить вопросъ: на какое число надо умножить 1 1/3 1/4 , или ²⁸⁸/₁₄₄, чтобы получить сперва ¹/₁₄₄? Очевидно, на ¹/₂₂₈. Чтобы получить ¹/₇₂

, надо умножить на ¹/₁₁₄ Такимъ образомъ, посл довольно запутаннаго вычисленія получается итогъ: 2/3 1/3 ¹/₆¹/₁₂¹/₁₁₄¹/₂₈₈, который и считался у египтянъ вполн нормальнымъ, какъ составленный изъ основныхъ дробей (дробь 2/3 у нихъ тоже признавалась основной, это единственная изъ дробей съ числителемъ 2, у нея даже былъ свой спеціальный знакъ).