Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр

Этот результат, известный как первая теорема о минимаксе, был опубликован в статье 1928 года Ж теории стратегических игр». В ней фон Нейман заложил общие основы будущей теории игр. Важно подчеркнуть еще раз: для того чтобы удовлетворить условиям теоремы фон Неймана, оба игрока должны быть рациональными, заботиться исключительно о собственных интересах и очень тщательно анализировать свои возможные стратегии. Эти критерии выполняются не во всех играх. Например, если один из игроков — природа, то в силу вступают произвольные факторы, и этот противник, разумеется, не осуществляет никакого анализа.

БИТВА В МОРЕ БИСМАРКА

Теория игр имела и продолжает иметь тесную связь с так называемыми военными играми. Одним из первых случаев, когда она была применена на войне, стало сражение в море Бисмарка, состоявшееся 23 декабря 1942 года, в котором столкнулись стратегии американского генерала Джорджа Кенни и контр-адмирала Масатоми Кимуры. В конце боя были потоплены все транспортные суда и половина японских кораблей. Благодаря критерию минимакса командование США выбрало оптимальную стратегию и установило новую доктрину для разведывательных полетов. Японский флот должен был выйти из порта Рабаул на северо-востоке острова Новая Британия и направиться в порт Лае для подкрепления. У контр-адмирала Масатоми Кимуры было два варианта: выбрать северный маршрут, пролегавший по морю Бисмарка, где обычно были очень плохие климатические условия, или южный, с более благоприятными. Генерал Кенни должен был сконцентрировать все самолеты-разведчики на одном из этих двух маршрутов, учитывая при этом количество дней, которое ему потребовалось на бомбардировку, как только были бы замечены японские корабли. Применив к платежной матрице критерий минимакса, авторы стратегии выяснили, что при выборе северного маршрута предполагаемое количество дней для бомбардировки в любом случае равнялось бы 2, поэтому был сделан выбор в пользу следующей стратегии.

Самолеты союзнической армии атакуют японский корабль во время сражения в море Бисмарка.

Кимура

Северный маршрут

Южный маршрут

Кенни

Северный маршрут

2

2

Южный маршрут

1

3

Любой, кто рассматривает арифметические методы для получения произвольных цифр, разумеется, грешник.

Джон фон Нейман

Логично было бы ожидать от ученого, решившего исследовать теоретические загадки игр, выбора в качестве модели шашек или шахмат. Фон Нейман был очень хорошо знаком с этими играми еще с детства. И тем не менее в статье 1928 года, в которой он доказал теорему о минимаксе, приводится тщательный анализ игры в... покер. Широко известно, что фон Нейман очень любил эту игру, хотя не всегда добивался в ней больших успехов. По его мнению, самым интересным аспектом покера был блеф, который делал выбор стратегии еще более сложным. В покере гораздо труднее математически установить оптимальную стратегию по сравнению с играми с двумя участниками и нулевой суммой. Несмотря на это фон Нейман придумал упрощенный вариант покера, который позволил ему включить эту игру в свои исследования.

СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ

Представим, что игроки А и В участвуют в игре со следующей платежной матрицей.

В1

В2

вз

А1

-3

-1

4

А2

3

0

1

A3

3

-1

-4

Когда игрок А выбирает стратегию 1, максимальный проигрыш имеет место, если стратегию 1 выберет и игрок В. Для А это означает потерю -3, что выделено жирным шрифтом в таблице ниже.

В1

В2

В3

А1

-3

-1

4

-3

А2

3

0

1

0

A3

3

-1

-4

-4

3

0

4