Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр

Метод Монте-Карло — группа численных методов, используемых в статистике для апроксимации сложных математических выражений, для которой нет алгоритма вычисления. Он состоит в симуляции случайных переменных. Одно из самых простых известных устройств для генерирования таких случайных чисел — рулетка казино. Именно поэтому данному методу дали имя культовой столицы азартных игр. Дилетанты считают, что метод Монте-Карло помогает выигрывать в рулетку, но на самом деле этот статистический метод никак не связан с азартными играми. Существует простой способ проиллюстрировать идею, на которой он основан. Представим себе квадратную доску со стороной 1, внутри которой находится геометрическая фигура неправильной формы, площадь которой мы хотим вычислить (см. рисунок). Мы могли бы взять для примера любую фигуру с изогнутыми краями и, разумеется, любую фигуру, описываемую математической функцией. Теперь расположим количество N точек случайным образом. Такой сценарий мог бы иметь место в реальной жизни, например когда имеется некое количество градинок, выпавших на огороженное пространство. Сосчитаем количество N' точек, находящихся внутри той фигуры, площадь которой нам надо узнать. Предположим, что N = 40, а N' = 13. Коэффициент Ν/Ν'= 0, 32 будет апроксимацией искомой площади. Легко доказать, что погрешность будет пропорциональна определенной величине, так что для каждой последующей цифры после запятой, которую мы хотим получить, будет необходимо в сто раз увеличивать объем вычислений. Хотя метод основан на простом алгоритме, для его применения необходимы вычислительные устройства. Фон Нейман опирался на идею, предложенную американским математиком польского происхождения Станиславом Уламом (1909-1984), которого фон Нейман пригласил для работы над Манхэттенским проектом. Улам рассказывал, что мысль пришла ему в голову, когда он во время болезни раскладывал сложный пасьянс. Тогда Улам подумал: вместо того чтобы каждый раз проводить детальный анализ каждого возможного решения, гораздо интересней играть наугад, подсчитывая количество задействованных карт. Фон Нейман применил этот метод для обнаружения нейтронов, порожденных радиоактивным материалом, вдоль радиуса сферы. В 1947 году он отправил официальное предложение по использованию метода в Лос-Аламосскую национальную лабораторию. Этот документ стал первым известным нам формальным описанием метода Монте-Карло.