Хаос. Создание новой науки

Вместо того чтобы наблюдать за какой-либо одной траекторией, Смейл сосредоточился на том, как преобразуется все фазовое пространство системы в целом, когда та меняется – например при увеличении движущей силы. При этом он сконцентрировал свои размышления на некой геометрической сущности, абстрагировавшись от сути физической. В качестве инструментария Смейл использовал топологические трансформации в фазовом пространстве – преобразования вроде растяжения и сжатия. Иногда эти преобразования несли в себе прямой физический смысл. Так, рассеивание энергии и ее потеря на трение наглядно отображались в виде сжатия очертаний системы в фазовом пространстве, подобно опадающему воздушному шару, сокращаясь в итоге до точки, в которой система окончательно останавливалась. Смейл понял, что для воспроизведения всей сложности поведения осциллятора Ван дер Поля в фазовом пространстве необходимо использовать новый сложный набор трансформаций, и быстро превратил идею о зрительном представлении глобального поведения системы в новую модель. Его изобретение – образ хаоса, овладевший на многие годы умами, – представляло собой структуру, известную как подкова Смейла.

Чтобы представить себе упрощенный вариант подковы Смейла, вообразите прямоугольник, а затем прижмите левую сторону к правой[93]. Получится вертикальный брусок, который надо дополнительно растянуть по вертикали и согнуть в виде подковы. Подкову нужно встроить в новый прямоугольник и повторить преобразования: сжатие, растяжение и сгибание.

Процедура напоминает механическое замешивание карамели, при котором вращающиеся насадки ловко растягивают сладкую жирную массу, сворачивают ее вдвое, вновь вытягивают, и так снова и снова, пока конфета не приобретет изящную продолговатую форму и сахарные завитки внутри нее не станут повторять друг друга самым причудливым образом[94]. Смейл создал свою подкову, пройдя несколько стадий топологического преобразования. Отвлекшись от математики, можно отметить, что подкова – точный и зримый образ «сильной зависимости от начальных условий», которую Лоренц откроет в отношении атмосферных явлений несколькими годами позже. Выберите две соседние точки в начальном пространстве – и вы не сможете угадать, где именно они окажутся. Они будут разведены путем сгибания и скручивания пространства. Две точки, которые некогда находились рядом, впоследствии могут оказаться довольно далеко друг от друга.

Подкова Смейла. Такая топологическая трансформация заложила весьма простую основу понимания хаотических свойств динамических систем: пространство растягивается в одном направлении, сжимается в другом, а затем перегибается. При повторении операции образуется нечто вроде структурированного беспорядка, подобного тому, который мы получаем, сворачивая пирожные из слоеного теста. Две точки, оказавшиеся рядом в конце преобразований, вначале могли находиться далеко друг от друга[95].

Первоначально Смейл надеялся объяснить поведение всех динамических систем в терминах вытягивания и сжатия, но не сгибания, по крайней мере такого, которое сильно подорвало бы устойчивость системы. Однако это преобразование оказалось необходимым и резко изменило динамику[96]. Подкова Смейла стала первой в ряду новых геометрических форм, благодаря которым математики и физики многое узнали о возможностях движения. В некотором смысле это изобретение оказалось слишком искусственным для прикладных целей и в слишком большой мере изобретением топологии, чтобы вызвать интерес физиков, однако оно стало отправной точкой для дальнейших изысканий. В 1960-е годы Смейл создал в Беркли исследовательскую группу из молодых математиков, разделявших его интерес к изучению динамических систем. Прошло десятилетие, прежде чем результаты их работы удостоились полноценного внимания представителей других, не столь далеких от практики дисциплин. Когда это все же случилось, физики поняли, что Смейл повернул целый раздел математики лицом к реальному миру, и заговорили о наступлении золотого века науки[97].

«Происходит самая эпохальная смена парадигм из всех, какие я видел», – так прокомментировал происшедшее Ральф Абрахам, коллега Смейла, впоследствии профессор математики в Калифорнийском университете в Санта-Крузе[98].