Хаос. Создание новой науки

Неисчислимое разнообразие фрактальных форм может быть образовано итерацией в комплексной плоскости, но система Мандельбро была одной-единственной. Смутная и призрачная, она начала вырисовываться, когда ученый попытался найти способ сведения к общим законам класса форм, известного как множества Джулиа. Множества эти были открыты и изучены еще во время Первой мировой войны французскими математиками Гастоном Джулиа и Пьером Фато, работавшими без каких бы то ни было компьютерных изображений. Мандельбро в двадцатилетнем возрасте познакомился с их скромными рисунками и прочитал их работу, уже канувшую в безвестность. Именно множества Джулиа во всем разнообразии обличий оказались тем, что поставило в тупик Барнсли. Некоторые из порождаемых ими форм похожи на круги, проколотые и деформированные во многих местах, что придает им фрактальную структуру, другие разбиты на зоны, третьи — на разъединенные пылинки. Для их описания не подходят ни обычные слова, ни понятия Евклидовой геометрии. Французский математик Адриен Доуди заметил: «Получив непредсказуемо многоликие образы множеств Джулиа, замечаем, что некоторые выглядят словно пухлое облако, другие представляют собой тощий куст ежевики, третьи похожи на искорки, плывущие в воздухе после фейерверка. Один объект напоминает кролика, и многие имеют хвосты, как у морских коньков».

^{Рис. 8.1. Примеры изображений, полученных с помощью множеств Джулиа.}

В 1979 г. Мандельбро обнаружил, что может создать в пределах комплексной плоскости один образ, который послужит своего рода каталогом множеств Джулиа, ориентиром для каждого из составляющих эти множества объектов. Тогда он изучал итерационные решения квадратных и тригонометрических уравнений (последние включали функции синуса и косинуса). Даже основываясь на гипотезе о порождении простотой сложности, он отнюдь не сразу понял, насколько необычным являлся объект, возникший на экране монитора в его кабинете в Гарварде. Программисты, пытаясь эффективно распределить память компьютеров, корпели над новыми интерполяциями точек в машине IBM с обладающим низким разрешением, черно-белым дисплеем, а ученый торопил их, желая рассмотреть мельчайшие детали. Вдобавок приходилось следить за тем, чтобы не попасть в ловушку артефактов, возникающих из-за сбоя в машине и исчезающих при изменении программы.

Мандельбро обратился к простейшим изображениям, запрограммировать которые не составляло труда. На грубо набросанной координатной сетке, где несколько раз повторялась петля обратной связи, возникли первые контуры кругов или дисков. Проделанные вручную расчеты показали, что с математической точки зрения они вполне реальны и не являются некими вычислительными странностями. Справа и слева от главных дисков появлялись иные неясные очертания. Как позже вспоминал сам Мандельбро, воображение нарисовало ему нечто большее — целую иерархию форм, где от атомов, словно ростки, отпочковываются всё новые и новые атомы, и так до бесконечности. А там, где система пересекала действительную ось, ее уменьшающиеся с каждым разом диски подчинялись определенному масштабированию с геометрической регулярностью, которую ученые, занимающиеся динамическими системами, определяют сейчас как последовательность бифуркаций Файгенбаума.

Эти исследования подтолкнули Мандельбро к продолжению работы и совершенствованию первых черновых изображений. Вскоре он обнаружил некие включения, собиравшиеся по краям дисков и «плававшие» в близлежащем пространстве. Продолжая рассчитывать мельчайшие детали, он вдруг почувствовал, что удача покинула его, — на картинах вместо четких изображений появлялась путаница. Тогда он направился обратно в исследовательский центр IBM, надеясь попытать удачи на компьютерах корпорации в частном порядке, чего не мог позволить себе в Гарварде. К удивлению Мандельбро, нарастание путаницы в изображениях говорило о чем-то реальном. Отростки и завитки медленно отделились от основного островка, и возникла кажущаяся однородной граница, которая распадалась на цепочку спиралей, напоминавших хвосты морского конька. Иррациональное породило нечто рациональное.

Система Мандельбро являет собой скопление точек, и каждая точка комплексной плоскости — иными словами, каждое комплексное число — или входит в их множество, или находится вне его пределов. Определить границы множества можно одним способом — тестированием каждой точки с помощью простого итерационного процесса. Для этого необходимо, выбрав комплексное число, возвести его в квадрат, прибавить результат к первоначальному числу, итог вновь возвести в квадрат, вновь прибавить результат к первоначальному числу, вновь возвести итог в квадрат и так далее, снова и снова. Если полученное число стремится к бесконечности, значит, точка не входит в систему Мандельбро. Если же итог имеет предел (может быть «пойман» какой-нибудь из повторяющихся петель или хаотично блуждать), в таком случае точка находится в пределах системы.