Хаос. Создание новой науки

^{Рис. 6.1. Хаос под микроскопом. Простое уравнение, повторяемое много раз. Файгенбаум сосредоточился на линейных функциях, вычисляя значение одной величины в зависимости от значения другой. Для Популяций животного мира функция выражала соотношение между численностью в текущем и следующем году. Одним из способов наглядного представления таких функций является построение графика, где исходные данные отмечаются на горизонтальной оси, а конечные — на вертикальной. Для каждого значения x существует лишь одно значение y, и оба они образуют форму, представленную сплошной линией. Затем, чтобы изобразить долгосрочное поведение системы, Файгенбаум вычертил траекторию, начинавшуюся с произвольно взятого значения x. Поскольку каждое значение у вновь подставлялось в ту же функцию в качестве новой исходной величины, ученый мог применить нечто вроде схематичного сокращения. Траектория скачками отдалялась от прямой, проведенной под углом 45°, где значения x и y равны. Для эколога наиболее очевидным типом функции, отображающей рост популяции, будет линейная — мальтузианская схема устойчивого и ничем не ограниченного увеличения с фиксированным ежегодным приростом (вверху слева). Более «реалистичные» функции представляют собой дугу, демонстрируя популяции. Здесь изображена так называемая логистическая карта для параболы, заданной функцией y = rx (1-x), где параметр r меняется от 0 до 4, определяя крутизну параболы. Но, как выяснил Файгенбаум, вид функции не имел значения. Действительно важным оказалось наличие у нее выпуклости. Поведение существенно зависело и от того, насколько парабола крута — от степени нелинейности, которую Роберт Мэй назвал «взлетами и падениями» (т. е. от способности живущей в естественных условиях популяции к увеличению и снижению числа составляющих ее особей). Слишком низкая парабола означала вымирание: любое начальное значение фактически приводило к нулю. Увеличение степени крутизны порождало устойчивое равновесие — ситуацию, понятную для эколога, который придерживается традиционных взглядов. Точка равновесия, находясь на любой траектории, являлась одномерным аттрактором. После определенной точки начинались разветвления, порождающие колеблющуюся популяцию с двумя периодами. Затем опять происходило удвоение периода, и еще, и еще раз, так что в конце концов траектория «успокаивалась» (внизу справа). Когда Файгенбаум попытался создать новую теорию, подобные изображения послужили ему отправной точкой. Он начал размышлять на языке итераций: функции функций, функции функций от функций и т. д.; схемы с двумя «горбами», потом с четырьмя…}