Холодильник Эйнштейна

Чтобы лучше всего объяснить подсчет вероятностей, нужно вернуться к истокам идеи, лежащим в сфере азартных игр. Представьте простую игру, в которой вы выигрываете пари, если верно угадываете, какой стороной упадет монетка. Допустим, монетка без подвоха — орел и решка выпадают с равной вероятностью, — а значит, у вас равные шансы угадать, какой стороной она упадет, либо ошибиться в своей догадке. Что, если подбросить монетку сто раз? Вам сложно будет угадать результат каждого броска, но интуитивно вы поймете, что шанс выбросить сто решек или сто орлов крайне мал. Шанс выбросить пятьдесят решек и пятьдесят орлов, напротив, значительно выше. Если точно, шансы таковы:

Шанс выбросить ровно 50 решек и 50 орлов: примерно 1 к 12.

Шанс выбросить о решек и 100 орлов: примерно 1 к 1 миллиону триллионов триллионов.

Мало кто из нас готов поставить на такое. Неудивительно, что идеальное соотношение 50/50 — самый вероятный результат, а шансы выбросить неравное соотношение орлов и решек резко сокращаются по мере увеличения неравенства.

Если построить график вероятности выпадения всех возможных комбинаций при ста подбрасываниях монетки, получится плавная математическая кривая, по форме напоминающая сечение старого церковного колокола. (Такие графики часто называют колоколообразными кривыми.) Верхушка колокола находится посередине горизонтальной оси графика. Это показывает, что равное соотношение 50 орлов и 50 решек наиболее вероятно. При движении влево и вправо от этой точки кривая уходит вниз. Это говорит, что чем более неравным оказывается соотношение орлов и решек, тем меньше становится его вероятность. Левый конец графика соответствует ситуации, в которой выпали одни орлы. Правый — ситуации, когда выпали одни решки. В этих крайних точках кривая очень близка к нулю.

Пик кривой — это среднее количество решек (50), выбрасываемое в нескольких сериях по сто бросков. Ключевая характеристика таких кривых — одинаковая вероятность отклонения в большую и меньшую сторону от среднего значения. Таким образом, вероятность выбросить 55 решек равна вероятности выбросить 45 решек. Колоколообразные кривые также предполагают, что каждая единица данных должна быть независима от всех остальных. Ни одно отдельное подбрасывание монетки и ни одна серия подбрасываний не влияют ни на одно другое.

Колоколообразные кривые встречаются при представлении многих научных данных, которые часто соответствуют указанным критериям. Примером может служить распределение роста взрослых людей одного пола — их рост представляется на графике в форме колоколообразной кривой. Другой пример — показатели их кровяного давления. Вы также можете попросить меткого стрелка сто раз выстрелить в яблочко мишени. Затем посчитайте количество пулевых отверстий, скажем, в радиусе одного дюйма от яблочка, количество отверстий в радиусе от одного до двух дюймов, от двух до трех дюймов и так далее. Постройте кривую на основе этих данных, и она окажется колоколообразной. (Чем выше меткость стрелка, тем у́же колокол кривой.) В обратную сторону это тоже работает. Если распределение пулевых отверстий формирует характерную колоколообразную кривую, то положение яблочка можно вычислить, посмотрев на ее пик. Подобным образом астрономы выясняют, где на самом деле находится звезда, ориентируясь на серию неточных результатов определения ее положения.

В конце 1850-х годов, сидя в гранитном кабинете с высоким потолком в Маришаль-колледже, Максвелл применил принцип, лежащий в основе колоколообразной кривой, к идеям Клаузиуса. В результате появилась область науки, называемая статистической механикой. Сначала Максвелл повторил утверждение Клаузиуса, что температура газа пропорциональна средней скорости его частиц, но затем пошел в новом направлении. Он отметил, что одни частицы движутся быстрее, а другие медленнее среднего, и все они оказывают влияние на поведение газа.

Но как их сосчитать? Поскольку в кубическом сантиметре газа содержится около 10 миллионов триллионов частиц, оценивать влияние каждой частицы нецелесообразно, поэтому Максвелл ввел законы вероятности. Вместо того чтобы рассчитывать скорость каждой частицы, он определял в заданном объеме газа процент частиц, которые могут двигаться в любом заданном диапазоне скоростей. Он предположил, что при каждой температуре есть скорость, с которой частицы газа движутся с наибольшей вероятностью. Однако есть также частицы, движущиеся быстрее и медленнее. Шанс найти частицу, которая движется с конкретной скоростью, тем ниже, чем сильнее эта скорость отличается от наиболее вероятной. Шансы снижаются аналогично тому, как снижается вероятность получить более далекое от равного число орлов и решек при подбрасывании монетки.