Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир

Легко заметить, что очень похожая операция лежит в основе схемы Диффи – Хеллмана.

После возведения в степень мы берем остаток от деления на р. Как мы уже упоминали выше, в математике такая операция обозначается g^x (mod p) (читается «g в степени х по модулю р»). При этом, естественно, g и х натуральные числа и у g нет общих делителей с р.

Одна нетривиальная теорема из теории чисел (см., например,{35}) утверждает, что для каждого простого р существует такое число g, что все числа

разные, то есть служат перестановкой множества 1, 2, …, p − 1 (среди них нет нуля, поскольку g < p и, значит, g^х не делится на р). Например,

Из этого следует возможность корректного определения дискретного логарифма, который еще называется индексом. А именно: «логарифм» произвольного числа y ∈ {1, 2, …, p − 1} по основанию g – это тот самый, уникальный, x ∈ {1, 2, …, p − 1}, при котором выполняется g^x (mod p

) = y. Поскольку для всех x < p остатки разные, то х определяется однозначно. Операция нахождения такого х называется операцией дискретного логарифмирования. Она очень сложная, и никто не знает, можно ли придумать способ ее быстрой реализации.

Как определить такое число g, чтобы все остатки в выражении (П.15) были разные? Число g обладает этим свойством, если оно является первообразным корнем числа р. Мы позволим себе рассказать об этом понятии немножко подробнее.

3. Первообразные корни

Есть такая теорема Эйлера: если х и m взаимно просты, то g^φ(m) ≡ 1. Здесь a ≡ b, если a − b делится на m. Другими словами, у а и b одинаковый остаток от деления на m. А φ(m) это функция Эйлера, равная количеству чисел, не превосходящих m и взаимно простых с ним. Например, если m = p, где р простое, то φ(p) = p − 1 и теорема Эйлера превращается в малую теорему Ферма.

Условие теоремы Эйлера достаточное, но не необходимое. Вполне может случиться и так, что x^a ≡ 1 (mod m

), хотя a < φ(m). Самый простой пример такой ситуации – это, конечно, x = 1. Действительно, x^a ≡ 1 (mod m) для любых натуральных a и m. Но есть и менее тривиальные примеры. Скажем, p = 5, а 4² = 16 ≡ 1(mod 5), хотя 2 < p − 1 = 4.

Формально число g называется первообразным корнем по модулю m, если

g^φ(m) ≡ 1 (mod m), но g^a ≢ 1 (mod m) при всех a < φ(m) и a ≠ 0.

Пример (отсутствие первообразных корней уm = 2^k). Возьмем m = 2^k при k ≥ 3. В этом случае можно показать, что для любого натурального х выполняется

При этом φ(m)

= 2^k−1, потому что числа, взаимно простые со степенью двойки, – это все нечетные числа, а их ровно 2^k−1. Значит, для любого х нашлось число

a = 2^k−2 < 2^k−1 = φ(m),

для которого выполняется x^a ≡ 1 (mod m). Получается, что у m = 2^k при k ≥ 3 первообразных корней нет.

Теперь мы можем объяснить, почему в качестве m удобно брать простое число р. Для простого р всегда существуют первообразные корни. На самом деле мы уже говорили о них выше, в приложении 2 к главе 6, только не называли этим термином. Это те самые числа g, которые дают разные остатки от деления на p в (П.15). Например, при p = 3 это g = 2, при p = 5 это g = 2, а при p = 7 это g = 3. В нашем примере в тексте главы число g = 2 – это один из первообразных корней числа p = 19.

Итак, если g – первообразный корень p, то все остатки в (П.15) разные и каждому остатку соответствует единственная степень х (дискретный логарифм, он же индекс), при которой такой остаток получается. Ничего подобного мы не можем сделать, если будем брать остаток от деления на число m

, для которого первообразного корня нет. Именно поэтому работают с простыми числами.

Заметим, что первообразные корни есть еще для m = 4, m = p^k и m = 2p^k. Но все равно с простыми числами работать проще.

Назад к Главе 6

Приложение к главе 7

Двойной логарифм в HyperLogLog

Хеш-значения – это последовательности из нулей и единиц одинаковой длины. Обозначим длину хеш-значений через т. Тогда получим 2^m разных хеш-значений (см. главу 3 и приложение 1 к ней).

Теперь допустим, что нам нужно сосчитать n различных объектов. Чтобы присвоить им всем разные хеш-значения, понадобится как минимум n хеш-значений, то есть

2^m >nилиm > log₂(n).

Стало быть, m должно быть того же порядка величины, что и log₂(n).

Алгоритм К-Minimum Values запоминает К самых маленьких хеш-значений длины m, то есть для этого алгоритма нам нужен объем памяти примерно K log₂(n).