Космологическое красное смещение – что это такое?

Погрешность вычисления скорости с её завышением при таком отбрасывании и значении z = 0,1 составляет 5%:

Более точно величину погрешности можно найти из следующих соображений. Пусть приближенное значение скорости отличается от точного значения на множитель k < 1, то есть:

Тогда

Преобразуем:

Уравнение позволяет вычислить, при каких z погрешность не будет превышать величину k. В частности, для k = 1 находим:

Это решение, очевидно, неприемлемо, поскольку по определению красное смещение при разбегании участников положительно. Для других значений приближения погрешность можно найти из уравнения (8). Например, погрешности для значений z = 0,01 и z = 0,1 равны:

Как видим, действительно, при значениях z < 0,1 погрешность вычисления скорости не превышает 5%. Если же z > 1, то погрешность превышает 40%:

Следует заметить, что в приведённой выше цитате уравнение (0), предшествующее уравнению (1), описано несколько двусмысленно. Не совсем понятно, относится оно к случаю, когда "источник движется по направлению к приёмнику, то есть догоняет испускаемую им волну, то длина волны уменьшается", либо к случаю, когда он "удаляется – длина волны увеличивается". По смыслу уравнения (0) и (1) соответствуют случаю сближения источника и приёмника. Кроме того и сами утверждения уменьшается-увеличивается также недостаточно наглядны. Поэтому рассмотрим эти изменения длины волны в более развернутом виде. На рисунке показано, что при движении световой волны мимо наблюдателя, неподвижного относительно источника, v = 0, наблюдатель за одну секунды фиксирует некоторое количество периодов этой волны:

Рис.1. Удаляющийся наблюдатель фиксирует меньшее число периодов волны

Очевидно, и не требует отдельных доказательств, что измеренная длина волны для неподвижного наблюдателя равна излученной длине волны λ_изл. В этом случае приёмник, наблюдатель зафиксирует количество колебаний, равное:

где

n_изл – количество подсчитанных колебаний, а индекс означает принадлежность источнику.

В уравнении умноженная на 1 секунду скорость света – это путь, пройденный за 1 секунду пересчитанными колебаниями с длиной волны λ_изл. Если же получатель, приёмник удаляется от излучателя, что соответствует расширяющейся Вселенной, то, как видно на рисунке, за эту же секунду он насчитает

меньшее количество колебаний, периодов световой волны. За эту секунду относительно наблюдателя, приёмника волна пройдёт меньший путь, поскольку приёмник переместился, двигаясь со скоростью v, поэтому наблюдатель и насчитает меньшее число n_наб периодов λ:

Все эти периоды подсчитаны за то же время – 1 секунду, что "видно" с точки зрения излучателя (источника). Действительно, наблюдая за движущимся наблюдателем, приёмником, он однозначно фиксирует, что тот пересчитал именно такое количество "периодов" волны. Из этого следует, что при световой скорости движения волны этому количеству периодов n_наб соответствует и большее значение длины волны (длины её одного периода). В самом деле, за 1 секунду мимо движущегося наблюдателя пробежало n_наб

штук периодов общей длиной, равной пути, пройденному светом за это же время, 1 секунду. Следовательно, фактическая длина волны с точки зрения движущегося (да и неподвижного) наблюдателя равна:

Это, очевидно, верное соотношение. Действительно, если v = 0, то длина наблюдаемой волны равна длине излучаемой. Иначе, при удалении наблюдателя от источника, длина наблюдаемой волны всегда больше длины излучаемой. Напротив, при сближении, отрицательном значении скорости, длина волны оказывается меньше излученной. Если подставить эти значения длин волн в уравнение для красного смещения, то получим:

Соотношение выглядит корректным, поскольку, действительно, при удалении приёмника вычисленная по нему длина волны λ_наб всегда больше излученной. Иначе, при нулевой скорости они равны, а при сближении (скорость отрицательна) вычисленная длина волны λ_наб всегда оказывается меньше излученной. Однако здесь мы обязаны учесть ещё один эффект – лоренцево сокращение длины. Поскольку измеряемый участок волны как физический объект движется относительно неподвижного наблюдателя, его внутренняя линейка сокращается относительно неподвижной линейки наблюдателя. Это прямо следует из принципа относительности: если приемник движется относительно источника с некоторой скоростью, то это тождественно тому, что и источник движется с той же скоростью относительно приёмника. Поскольку нас интересует картина с точки зрения приёмника, то мы и принимаем, что именно источник движется относительно него. Из этого следует, что движущемуся наблюдателю длина волны и связанная с источником и движущаяся вместе с ним линейка видятся более короткими: